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1、 解一元二次方程-因式分解法（导学案）一、学习目标1会用因式分解法解一元二次方程；2灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾1分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)（2）公式法：，（3）十字相乘法：三、预习1因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2因式分解法解一元二次方程的步骤：把方程的右边化为0；用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两
2、个一次因式乘积的形式；令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3因式分解法的条件、理论依据因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.四、知识探究1用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解方程：（1）2(2x1)2=(12x)；（2）4(y2)2=(y3)2.总结：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）把方程的右边化为0；（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式
3、法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2、跟踪训练用因式分解法解方程：x26x+9=（52x）23强化训练灵活选用方法解一元二次方程选择适当方法解下列方程：（1）x25x+1=0；（2）3（x2）2=x（x2）；（3）2x22x5=0；（4）（y+2）2=（3y1）2总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用. （1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0
4、形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.五课堂小测一、选择题1方程（x-16）(x+8)=0的根是（ ）A. x1=-16，x2=8
5、B. x1=16，x2=-8 C. x1=16，x2=8 D. x1=-16，x2=-82. 方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（ ）A. B. C. D.3.方程x22x=3可以化简为（）A（x3）（x+1）=0 B（x+3）（x1）=0C（x1）2=2 D（x1）2+4=0二、填空题4解一元二次方程x2+2x3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程5方程x（x+1）=2（x+1）的解是6已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为三、解答题7解下列方程：（1）x22x+1=0 （2）x22x2=0（3）（x3）2+2（x3）=08（2014
6、秋沧浪区校级期末）解下列方程：（1）x24x3=0（2）（x2）2=3（x2）（3）2（x）2（x）1=09（2014秋宛城区校级期中）为了解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将x21看作一个整体，然后设x21=y，则（x21）2=y2，那么原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，x21=1，x2=2，x=当y=4时，x21=4，x2=5，x故原方程的解为x1=，x2=，x3=，x4=请借鉴上面的方法解方程（x2x）25（x2x）+6=010（2014秋蓟县期中）已知（x2+y23）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值典例探究答案：【例1】【解析】（1
7、）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x1)2=(12x)移项，得2(2x1)2(12x)=0，即：2(2x1)2+(2x1)=0，因式分解，得（2x-1）2(2x-1)+1=0，整理，得(2x-1)(4x-1)=0，解得x1=，x2=；（2）4(y2)2=(y3)2移项，得4(y2)2-(y3)2=0因式分解，得2（y+2）+(y-3)2(y+2)-(y-3)=0整理，得(3y+1)(y+7)=0解得y1=，y2=7.练1【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；解：x26x+9=（52x）2，（x3）2（52x）2=0，因
8、式分解得：（x3+52x）（x35+2x）=0，整理得：（2x）（3x8）=0，解得：x1=2，x2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键【例2】【解析】先设2x+5=y，则方程即可变形为y24y+3=0，解方程即可求得y（即2x+5）的值，进一步可求出x的值解：设x1=y，则原方程可化为y24y+3=0，所以（y1）（y3）=0解得y1=1，y2=3当y=1时，即2x+5=1，解得x=2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=1，所以原方程的解为：x1=2，x2=1点评：本题运用换元法解一元二次方程 练2【解析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程
9、，通过解该一元二次方程来求x（即a+b）的值解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x2）8=0，整理，得（2x+1）（x1）=0，解得x1=，x2=1则a+b的值是或1故答案是：或1点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换练3 【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得.当y2=-4时，x2
10、-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.综上，.【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x2）2x（x2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2（3y1）2=0，然后利用因式分解法解方程解：（1）x25x=1，x25x+（）2=1+（）2，（x）2=，x=，所以x1=，x2=；（2）3（x2）2x（x2）=0，（x2）（3x6x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）=（2）242（5）=48x=，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2（3y1）2=0，（y+2+3y1
11、）（y+23y+1）=0，y+2+3y1=0或y+23y+1=0，所以y1=，y2=点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法练4【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解解：（1）因式分解，得（x1）（x6）=0，解得x1=6，x2=1；（2）a=3，b=4，c=1，x1=，x2=；（3）方程化简得x2+2x3=0，因式分解，得（x+3）（x1）=0，解得x1=1，x2=3；（4）a=1，b=2，c=1，x1=1+，x2=1+点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关
12、键课后小测答案：一、选择题1【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项解：x22x=3，x22x3=0，（x3）（x+1）=0，故选A点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.解：5x(x+3)=3(x+3)，移项，得5x(x+3)-3(x+3)=0，分解因式，得（5x-3）（x+3）=0，解得故选D.点评：注意本题不能两边约去（x+3），这样会失去一个解.3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.解：方法一：x2-2x=3,移
13、项，得x2-2x-3=0,因式分解，得（x-3）(x+1)=0,方法二：x2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,移项，得（x-1）2-4=0.故选A.点评：本题考查了解一元二次方程因式分解法.二、填空题4【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x1=0或x+3=0解：（x1）（x+3）=0，x1=0或x+3=0故答案为x1=0或x+3=0点评：本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学
14、转化思想）5【解析】移项后分解因式得到（x+1）（x2）=0，推出方程x+1=0，x2=0，求出方程的解即可解：x（x+1）=2（x+1），移项得：x（x+1）2（x+1）=0，即（x+1）（x2）=0，x+1=0，x2=0，解方程得：x1=2，x2=1，故答案为：x1=2，x2=1点评：本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键6【解析】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，即（t1）（t+4）=0，解得t1=1，t2=4，t0，t=1，x2
