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1、习题1.11证明下列集合等式(1) ；(2) ；(3) 证明 (1) . (2) =.(3) .2证明下列命题(1) 的充分必要条件是：；(2) 的充分必要条件是：；(3) 的充分必要条件是：证明 (1) 的充要条是：(2) 必要性. 设成立，则, 于是有, 可得 反之若 取, 则, 那么与矛盾.充分性. 假设成立, 则, 于是有, 即(3) 必要性. 假设, 即 若 取 则 于是 但 与矛盾.充分性. 假设成立, 显然成立, 即.3证明定理1.1.6定理1.1.6 (1) 如果是渐张集列, 即 则收敛且(2) 如果是渐缩集列, 即 则收敛且证明 (1) 设 则对任意 存在使得 从而 所以 则
2、 又因为 由此可见收敛且(2) 当时, 对于存在使得 于是对于任意的 存在使得, 从而 可见 又因为 所以可知收敛且4设是定义于集合上的实值函数，为任意实数，证明：(1) ；(2) ；(3) 若，则对任意实数有证明 (1) 对任意的 有 则存在使得成立. 即 那么 故 另一方面, 若 则存在使得 于是, 故. 则有(2) 设, 则, 从而对任意的, 都有, 于是, 故有 另一方面, 设, 则对于任意的, 有, 由的任意性, 可知, 即, 故.(3) 设, 则. 由 可得对于任意的, 存在使得, 即, 即, 故, 所以, 故；另一方面, 设, 则对任意有. 由下极限的定义知：存在使得当时, 有,
3、 即对任意有; 又由 知 即对任意的, 存在使得当时, 有. 取, 则有与同时成立, 于是有, 从而, 由的任意性知：, 即, 故有;综上所述：5证明集列极限的下列性质(1) ；(2) ；(3) ；(4) 证明 (1) .(2) .(3) .(4) .6如果都收敛，则都收敛且(1) ；(2) ；(3) 习题1.21建立区间与之间的一一对应解 令, ,则,.定义为: 则为之间的一个一一对应.2建立区间与之间的一一对应，其中解 定义: 为:可以验证: 为一个一一对应.3建立区间与之间的一一对应，其中解 令，. 定义为: 可以验证: 为一个一一对应.4试问：是否存在连续函数，把区间一一映射为区间?是
4、否存在连续函数，把区间一一映射为?答 不存在连续函数把区间一一映射为; 因为连续函数在闭区间存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间一一映射为; 因为连续函数在闭区间上存在介值性定理, 而区间不能保证介值性定理永远成立.5证明：区间且证明 记,则.任取, 设 为实数正规无穷十进小数表示, 并令, 则得到单射. 因此由定理1.2.2知.若令, 则. 从而由定理1.2.2知: .最后, 根据定理知: .对于,定义为:,则为的一个一一对应,即. 又因为: , 则由对等的传递性知: 且.6证明：与对等并求它们的基数证明 令, ,.则. 定义: 为:可以验证: 为一一对应, 即. 又因为, 所以 .7证
5、明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数证明 对任意的 取有限区间则, 则由定理知, 同理. 故.习题1.31证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集是可数集证明 因为有理数集是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以中的每个元素由中的六个相互独立的数所确定，即 所以为可数集.2证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集最多是可数集证明 对于任意的, 使得. 因此可得：. 因为与不相交，所以. 故为单射，从而. 3证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并证明 (2) 当可数时，
6、存在双射. 因为所以 .其中：.又因为且可数，所以可表示成可数个两两不交的无限集之并当不可数时，由于无限，所以存在可数集, 且不可数且无限，从而存在可数集，且无限不可数. 如此下去，可得都可数且不相交，从而. 其中无限且不交.4证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集5证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集证明 有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.6证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集证明 不妨设函数在单调递增，则在间断当且仅当.于是，每个间断点对应一个开区间.下面证明：若为的两个不连续点，则有.事实上，任取一点，使，于是，从而对应的开
7、区间与对应的开区间不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.7证明：若存在某正数使得平面点集中任意两点之间的距离都大于，则至多是可数集证明 定义映射，即，其中表示以为中心，以为半径的圆盘. 显然当时，有，即，于是为双射，由第2题知：，故.习题1.41直线上一切闭区之集具有什么基数？区间中的全体有理数之集的基数是什么?答 直线上一切闭区间之集的基数是. 这是因为：为单射，而为满射，所以. 区间中的全体有理数之集的基数是，这是因为：.2用表示上的一切连续实值函数之集，证明：(1) 设，则；(2)
8、公式定义了单射；(3) 证明 (1) 必要性. 显然.充分性. 假设成立. 因为，存在有理数列，使得，由，可得及.又因为为有理点列，所以有，故，都有.(2) ，设，即.由(1)知：. 故为单射. (3) 由(2)知：；又由，可得. 故.3设为闭区间上的一切实值函数之集，证明：(1) 定义了一个单射；(2) ，定义了单射；(3) 的基数是证明 (1) ，设，即.从而，故为单射. (2) ，设，则，故为单射. (3) 由(1)知：；又由(2)知：，故.4证明：证明 因为，而，故；又由定理1.4.5知：.5证明：若为任一平面点集且至少有一内点，则证明 显然. 设，则使得，可知，故.第一章总练习题 证
9、明下列集合等式(1) ；(2) 证明 (1) 因为 ,.所以.(2) 因为所以. 证明下列集合等式(1) ；(2) 证明 (1) .(2) .3证明：，其中为定义在的两个实值函数，为任一常数证明 若, 则有且, 于是,故. 所以.4证明：中的一切有理点之集与全体自然数之集对等证明 因为,所以(推论1.3.1). 又因为, 所以, 故.5有理数的一切可能的序列所成之集具有什么基数？6证明：一切有理系数的多项式之集是可数集证明 设于是显然 所以 因此由定理1.3.5知：7证明：一切实系数的多项式之集的基数为证明 记于是显然 所以 因此由定理1.4.3知：8证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是证明 由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为 记多项式的全体实根之集为 由于次多项式根的个数为有限个，故为有限集，从而代数数全体为可数个有限集的并，故为可数集，即设超越数全体所成之集为 即 则 从而必为无限集，由于为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故9证明：，则证明 因为又因为所以由保并性知即10证明：若则证明 (反证法) 假设 则由已知可得 这与矛盾. 故有.11证明：若，则或证明 假设 则有 这与矛盾，故有或.12证明：若，则存在使得证明同上.
