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1、走近中考 图形折叠问题,育才中学初三备课组,（2014年广州中考25题）如图，梯形 ABCD中， ABCD ，ABC=90,AB=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段 CD上一动点（不与点 C重合）， BCE关于BE 的轴对称图形为BFE ,连接CF ,设 CE=x 1）当点F落在梯形ABCD 的中位线上时，求 X的值；,一、本题14分，平均分0.53，得分低的主要原因是由于对折叠的实质理解不够透彻，在第（1）问中未能画出正确的图形，导致失分严重。,二、如何解决折叠问题：,1、会折,3、会求,2、会画,引入,在我们教科书人教版8下第64页，有一个数学活动，其操作过程是：,A,B,C,D,E
2、,F,A,D,E,B,C,F,M,N,解决折叠问题1、会折 获得初步感观,第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展开。 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到 折痕BM。同时得到线段BN（如图2）,回顾知识点：,纸片折叠,实质,轴对称变换,生成相等的线段和角,折痕,对称轴,对应点连线的垂直平分线,实质,如图，梯形 ABCD中， ABCD ，ABC=90,AB=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段 CD上一动点（不与点 C重合）， BCE关于BE 的轴对称图形为BFE ,连接CF ,设 CE=x. （1）当点F落在梯形ABCD 的中位线
3、上时，求 X的值；,F,E,解题分析：,2、会画,解决折叠问题2、会画 准确再现题意,1)如何确定F点？,BF=BC,以B为圆心，BC长为半径 画弧，交MN于点F,确定F点,2)如何确定E点？,1=2,作FBC的角平分线 交DC于点E,确定E点,BE垂直平分FC,作线段FC的垂直平分线 交DC于点E,确定E点,或,F,E,C,D,A,B,4,M,N,图1,解决折叠问题3、会求 综合信息分解难度,3）综合信息：BFN=_, EBC=_,综合信息分解难度：,2）由轴对称性质： BF= _,30,30,BC,4）在RtCEB中，tan30 =,如图，梯形 ABCD中， ABCD ，ABC=90,AB
4、=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段 CD上一动点（不与点 C重合）， BCE关于BE 的轴对称图形为BFE ,连接CF ,设 CE=x. 1)当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时， 求 X的值；,P,1）关注位置的特殊性：,90,BN=_BF,中位线,1.折叠图形的全等性： 对应边、对应角相等。,九年级 数学,图形的折叠,F,E,C,D,A,B,4,M,N,图1,x,2,4,2.点的对称性：对称点连线被对称轴 垂直平分。,BC=BF,方法1：作线段FC的垂直平分线 方法2：作FBC的角平分线,确定点E,确定点F,3.求X的关键：折叠中长度不变， 位置改变带来特殊性,反思一：,折叠前后
5、对应线段长度不变。,关键,解决折叠问题3、会求,例1、如图所示：点E为矩形ABCD的边AB上一点。将矩形 ABCD沿CE对折，点B恰好与AD上的点F重合。,（1）发现不变性：CF= ，EF= 。,（2）若AB=3,BC=5，求长度：DF= ，AF= 。,（3）在（2）的条件，求BE的长。,CB,EB,3,5,3,5,5,4,1,4,1,x,x,3-x,F,勾股,相似,面积,5,3,5,4,1,x,x,3-x,1,x,3-x,A=90 EA+AF=EF,（3-x)+1=x,方法一：勾股定理,利用折叠所得到的直角和相等的边或角，运用勾股定理列出方程求解,分析:,反思:,解得,A,F,E,相似,面积
6、,5,3,5,4,1,x,x,3-x,方法二：相似（三垂直模型）,EFFC 1+2=90,又四边形ABCD为矩形 D=90 2+3=90,1=3,在AFE与DCF中 1=3 E=F=90 AFEDCF,分析:,1,2,3,面积,勾股,5,3,5,4,1,x,x,3-x,方法三：等面积法,3,5,4,1,x,3-x,勾股,相似,梳理知识，提炼方法，,变式3,、解决正方形、矩形的折叠问题，往往 转化为 、 、 等方法 列出方程求解。,直角三角形,相似三角形,等面积,反思二： 1、图形的折叠，往往使隐含条件明显化或分散条件集中化。,变式1： 如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点A落在A处，BA
7、交CD于点E，AD=4，AB=8，则DE的长为 .,分析：,求线段DE值,利用折叠的性质： “平行线+角平分线” 找线段DE所在的等腰,设元建立方程,解方程得X=5,X,X,4,8-X,解：点A与点A关于直线BD对称， 1 = 2 CDBA， 1 = 3 2 = 3 ED= EB 设ED = x，则EB = x，EC= 8 x 在RtBAE中， 解得x =5,1,2,3,5,4,反思：,变式二：（选做）如图， 矩形 中，AB=8，BC=6，P为AD上一点， 将ABP 沿BP翻折至EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为_,X,X,6-X,6-X,8-X,8-(6-x),6,解
8、析：如图所示： 四边形ABCD是矩形， D=A=C=90，AD=BC=6，CD=AB=8. 根据题意得ABPEBP， EP=AP，E=A=90，BE=AB=8. 在ODP和OEG中， ODPOEG， OP=OG，PD=GE， DG=EP. 设AP=EP=x，则PD=GE=6x，DG=x， CG=8x，BG=8（6x）=2+x. 根据勾股定理，得 即 解得 x=4.8. AP=4.8.,4.8,变式三（在平面直角坐标系中的折叠）：（2013南沙一模24题） 将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE
9、，将EOC 沿CE折叠。 （1）如图，当点O 落在AB边上的点D处时，点E的坐标为 （2）如图，当点O 落在矩形OABC内部的点D处时，过点E 作EGx轴交CD于点H，交BC于点G. 求证：EHCH； （3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式 （4）如图，将矩形OABC 变为正方形，OC10，当点E为AO中点时，点O 落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。,变式三（在平面直角坐标系中的折叠）： 将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y 轴上.在OA 边上选取适当的点E，连接CE
10、，将EOC 沿CE 折叠。 （1）如图，当点O 落在AB 边上的点D 处时，点E 的坐标为,图,（1）E（0，5）；-3分,解：,变式三（在平面直角坐标系中的折叠）： 将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将EOC 沿CE折叠。 （2）如图，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E 作EGx轴交CD于点H，交BC于点G. 求证：EHCH； （3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式,图,2）证明：（如图） 由题意可知12. EGx轴， 13. 23. EHCH. -6分
11、,解：,“平行线+角平分线”,3） -9分,（m，n）,m,m,m,P,10-m,n,n,变式三（在平面直角坐标系中的折叠）：将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将EOC 沿CE折叠。 （4）如图，将矩形OABC 变为正方形，OC10，当点E为AO中点时，点O 落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。,图,勾股,相似,总结,变式三（在平面直角坐标系中的折叠）：将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上
12、.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将EOC 沿CE折叠。 （4）如图，将矩形OABC 变为正方形，OC10，当点E为AO中点时，点O 落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。,图,解：4） （如图）连接ET， 由题意可知，EDEO，EDTC，DCOC10 E是AO中点， AEEO. AEED. 在RtATE和RtDTE中， RtATERtDTE（HL） ATDT. -12分,设 ， 则 ， ， 在RtBTC中，, 即， 解得 ， 即. -14分,还有其他方法吗？,相似,总结,变式三（在平面直角坐标系中的折叠）：将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面
13、直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将EOC 沿CE折叠。 （4）如图，将矩形OABC 变为正方形，OC10，当点E为AO中点时，点O 落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。,图,解：方法2 分析：可先证TEC=90 用三垂直模型证 RtATE和RtOEC相似。,勾股,总结,透过现象看本质:万变不离其宗,折叠,轴对称,实质,轴对称性质：,A,D,E,F,1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等。,2.点的对称性：对称点连线被对称轴垂直平分。,问题解决的方法：,转化为三角形，利用勾股定理或相似三角形建立等量关系,图形的变化,折痕的变化,背景的变化,练习,2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未知数， 利用 思想解决问题。,及时反思,3）在折叠问题中，可以利用熟悉的数学模型， 转化到新背景下解决问题。,五、小结 1）折叠过程实质上是一个 变换，折痕就是 ， 变换前后两个图形 。,轴对称,方程,全等,对称轴,“平行线+角平分线”,谢谢！,
