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1、求点到空间直线距离的八种方法张玉婷 数学科学学院 信息与计算科学专业 2009级信息一班指导教师 郭芳摘 要 本文主要研究解析几何中点到空间直线的距离求法，此文主要介绍了其中八种解题方法。关键词 点；直线；距离；向量；解法八种方法的论述及例题求解：解法一：公式法如图（1）在空间直角坐标系下给定空间一点M1（x1，y1，z1）与直线l:这里M0（x0，y0，z0）为直线l上的一点=X,Y,Z为直线l的方向矢量，我们考虑以和失量为两边构成的平行四边形，这个平行四边形的面积等于,显然点M1到l的距离d就是这平行四边形的对应于以为底的高因此我们有 d=（1）例题：求点M1（3，-1，2）到直线解法（一
2、）：例解如图（1）已知直线一般方程化为直线的对称式方程：=所以点M1（3，-1，2） M0（1，-2，0） =（0，-3，-3）=(-2,-1,-2) 利用公式d=解法二：勾股定理法如图（2）已知点M1(x1，y1，z1) M0（x0，y0，z0）可求出=已知=X,Y,Z利用三角函数中的余弦cos=求出最后利用勾股定理=d（2）解法（二）：例解如图（2）已知直线方程= M0(1,-1,1)在已知直线上且=（2，0，1） =直线的方向向量为 =-3-3=（0，-3，-3） 由于cos=cos= = cos=*=从而点（3，-1，2）到已知直线的距离为：= 即d=解法三：构造平面法构造平面，已知的
3、法向量 =0 求p点到两平面的距离d1，d2 最后d=（3）解法（三）：例解如图（3）已知直线的两个相交平面法向量分别为：=（1，1，-1） =（2，-1，1） =0 即两平面相互垂直而点M1到两平面的距离分别为：d1= d2=从而M1到已知直线的距离为d=解法四：三角函数法见图（2）已知M1(x1，y1，z1) M0（x0，y0，z0）=X,Y,Z= cos=Sin= 则d= Sin解法（四）：例解见图（2）已知直线方程：= M1（3，-1，2） M0（1，-2，0）=（-2，-1，-2） =（0，-3，-3） cos=Sin= d=Sin=3=解法五：中点法如图（4）设M2坐标（x0+Xt
4、，y0+Yt,z0+Zt）已知点M1(x1，y1，z1) M0（x0，y0，z0）则= 因为=求出M2坐标利用中点公式求B点 则=d（4）解法（五）：例解如图（4）已知直线方程：= M1（3，-1，2） M0（1，-2，0）=（-2，-1，-2） 设M2（1，-2-3t，-3t） =（-2，-1-3t，-2-3t） = =18+18+9=9 t1=0（舍） t2=-1代入式子得 M2（1，1，3）利用中点公式 B（）=（1，-）= 即d=解法六：垂直法见图（2）已知 M1(x1，y1，z1) M0（x0，y0，z0）=X,Y,Z设B点坐标（x0+Xt，y0+Yt,z0+Zt）*=O 可求出B点
5、坐标 最后利用两点间距离公式则=d解法（六）：例解见图（2）已知直线方程：= M1（3，-1，2） M0（1，-2，0）=（0，-3，-3） 设B点坐标（1，-2-3t，-3t） =（-2，-1-3t，-2-3t） *=O （-1，-1-3t，-3t-2）*（0，-3，-3）=0 解得t= B（1，-） 利用两点间距离公式得d= 即d=解法七：求点法见图（2）过M1点作直线l的垂线 则垂足B为（x0，y0，z0） 代入已知直线得等式方程（a），又已知直线的方向向量=X,Y,Z M1(x1，y1，z1)而 =（x1-x0，y1-y0，z1-z0） 得式子与（a）联立求出 即d=解法（七）：例解见
6、图（2）过M1点作直线l的垂线 设其垂足B为（x0，y0，z0）已知直线 有（1）又已知直线l的方向向量=（0，-3，-3） M1（3，-1，2）而=(3-x0，-1-y0，2-z0) 即3（1+y0）-3（2-z0）=0 将与（1）联立解得 （x0，y0，z0）=（1，-）=（2，）即d=解法八：最短距离法见图（2） 设B点坐标（x0+Xt，y0+Yt,z0+Zt）已知M1(x1，y1，z1)则=化简后t取得等式的最小值即为d解法（八）：例解见图（2）已知直线方程：= M1（3，-1，2）设B点坐标（1，-2-3t，-3t） = = =3 =3当t=-时有d=3=参考文献：【1】吕林根 . 解析几何（第三版）M. 高等教育出版社,2008、6 【2】王向东 . 解析几何常用方法J . 重庆大学出版社, 1994、4 7
