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1、求解二元一次方程组黄口中学 王敏一、教学目标：（1）会用代入消元法解二元一次方程组；（2）了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.重点：用代入消元法解二元一次方程组. 难点：在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.二、学情分析在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组.同学间有相互交流合作、自主探索的经验，有在活动过程中总结经验、归纳知识点的经验.三.教
2、学过程设计：第一环节：情境引入内容：教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“小马和老牛的对话”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的. 设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，我们得到了方程组老牛和小马各驮了多少个包裹？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验 是不是方程x-y=2和方程x+1=2(y-1)的解，从而得知这个解既是x-y=2的解，也是x+1=2(y-1)的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出 是方程组 的解.所以老牛和小马各驮了7个和5个.提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这
3、可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？目的：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.第二环节：探索新知内容：回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？ （由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）解：设老牛驮了x个包裹，则小马驮了（x-2）个包裹，根据题意，得：X+1=2(x-2-1)解得：x=7将x=7代入x-2,解得：7-2=5.答：老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一
4、次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）1.列二元一次方程组设有两个未知数：老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹.列一元一次方程只设了一个未知数：老牛驮了x个包裹，小马驮的包裹数通过老牛驮的包裹数与小马驮的包裹数相比较，得出(x-2)个.因此y应该等于x-2.而由二元一次方程组的一个方程x-y=2，根据等式的性质可以推出y=x-2.2.发现一元一次方程中x+1=2(x-2-
5、1)与方程组中的第二个方程x+1=2(y-1)相类似，只需把x+1=2(y-1)中的“y”用“x-2”代替就转化成了一元一次方程.教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将 中的变形，得y=x-2 ，我们把y=x-2代入方程，即将中的y用(x-2)代替，这样就有x+1=2(x-2-1).“二元”化成“一元”.教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完
6、整地解一下这个二元一次方程组.（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）解： 由得：y=x-2. 将代入得： x+1=2(x-2-1)解得：x=7.把x=7代入得：y=5.所以原方程组的解为： （提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有误）下面我们试着用这种方法来解答上一节的“去公园有多少成人和儿童”的问题.（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数
7、学思想.）目的：通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.第三环节：巩固新知1.例：解下列方程组：(1) (2)（根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成） (1)解：将代入，得：.解得：.把代入，得：.所以原方程组的解为： (2)由，得：. 将代入，得：.解得：.将y=2代入，得：.所以原方程组的解是（题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪
8、个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）（教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方法.）2.思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）给这种解方程组的方法取个什么名字好？上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？(由学生分组讨论，教师深入参与到学生
9、讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价)1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.3.解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数
10、式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.目的：进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验.第
11、四环节：提高1.教材随堂（在随堂中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以）2.补充：用代入消元法解下列方程组：(1) (2) （注：2题可以用整体代入法来解，把第二个方程变为，再将它代入第一个方程，得；3题分数线有括号功能；4题如果有时间，学生学有余力可作为补充题目.）目的：对本节知识进行巩固.第五环节：课堂小结内容：师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.目的：鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对 “温故而知新” 的体会，知道“学而时习之”.第六环节：布置作业1.课本习题5.22.解答习题5.1第3题
