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1、4.3.1 正比例函数的图象西安外国语大学附属西安外国语学校初中部 符瑾 一、教材分析 本节内容出自北师大版八年级上册数学课本第四章第三节第一课时，主要研究正比例函数的图象及性质。该节内容是在学生初步认识一次函数并会对其进行简单判断之后，开展的进一步深入学习，同时为后续学习反比例函数、二次函数等一系列函授打下基础。本节课中描点画图得到图象、数形结合等思想方法的使用，也为学生的数学能力提升有所助益。因此本节课具有呈上启下的重要作用。二、学情分析本节课前，学生已学习了平面直角坐标系的相关知识，在 “变量之间的关系”的学习中已经接触了大量“图象”，为描点画图打下了良好的基础。通过前两节的学习了解了函
2、数及函数的表示方法及正比例函数的概念等知识，在数学学习中养成了一定的自主探究、小组合作学习习惯。但对函数与图象的联系还比较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系。三、教学目标知识与技能：理解函数图象的意义，经历画正比例函数图象和探索正比例函数的图象的形状的过程，知道正比例函数的图象是一条直线；理解一次函数的表达式与图象之间的一一对应关系。过程与方法：经历正比例函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的意识和能力；经历函数图象的作图过程，初步了解做函数图象的一般步骤：列表，描点，连线。情感态度与价值观：在动手操作过程中，培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质；体验“
3、数”与“形”的转化过程，感受函数图象的简洁美。激发学生学数学的兴趣。教学重点：初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。教学难点：理解正比例函数的表达式与图象之间的一一对应关系。四、教学过程设计第一环节：旧知回顾 引入新课内容：忆一忆（1）什么是一次函数？（2）什么是正比例函数？（3）一次函数与正比例函数的关系？（4）函数的三种常见的表达形式？要求：学生独立思考，举手口答问题。目的：复习巩固正比例函数的概念，让学生在温习旧知识的过程中体验旧知与新知之间的联系，为本节课探索正比例函数的图象做知识准备。第二环节：明确概念 深化理解内容：知识点一：函数图象把一个函数的自变量x与对应的因变量y的
4、值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。例1 请作出正比例函数y=2x的图象解：（1）列表：x-2-1012y=2x-4-2024（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。（3）连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象。说明：由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：列表，描点，连线。列表时应注意：自变量x的取值在满足条件的范围内，为了保证选取得点具有代表性适当地选择了负数、零和正数；表格中第一行x的填写应按照从左至右逐渐增大的顺序完成（数学约定）。连线时应用光滑的曲线，同时两端是否无限延长取决于x
5、的取值范围。目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线。内容：知识点二：正比例函数的图象做一做：画出任意一个正比例函数y=kx的图象，组内观察，正比例函数的图象有什么特点？目的：熟悉并深化函数图象作图的一般步骤，同时，学生通过观察组内成员所做图象，总结共性，从而得出“正比例函数的图象是一条过原点（0，0）的直线”这一结论。进而归纳画正比例函数图象的便捷方法：因为“两点确定一条直线”，所以画正比例函数y=kx的图象时只描出两个点就可以，因此只需再确定一个点就可以了，通常过(0，0)，(1，k)作直线。第三环节：动手操作 深化
6、探索内容：试一试例2 在同一直角坐标系内作出(1)y=x，(2)y=-2x，(3)y=-x，(4)y=x的图象。思考：上述四个函数，其图象的分布有什么规律？随着x值的增大，y值分别如何变化？目的：此题，意在使学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图象，结合k的取值，分析正比例函数图象的性质。效果：学生通过作出正比例函数的图象，明确了作函数图象的一般方法。在探究函数与图象的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比例函数的图象。总结：知识点三：正比例函数的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过 原点 ；（2）当k0时，图象经过第 一、三 象限，y随x的增大而 增大
7、 (即从左向右观察图象时，直线是向上倾斜的，类似于飞机“起飞”)；（3）当k0时，图象经过第 二、四 象限，y随x的增大而 减小 (即从左向右观察图象时，直线是向下倾斜的，类似于飞机“降落”)。强调：k0时，自变量x和因变量y的变化趋势一致，即同增同减；而k0时，自变量x和因变量y的变化趋势相反，即一增一减。内容：想一想进一步思考：（1）正比例函数 y=x 和 y=x 中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？（2）正比例函数 y=-2x 和 y=-x 中，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？目的：（补充）知识点三：正比例
8、函数的性质（4）当k0时，k越大，图象越接近 y 轴，y随x的增大而增大得越 快 ；（5）当k0时，k越小，图象越接近 y 轴，y随x的增大而减小得越 快 。即：越大，图象越靠近y轴，y随x变化得越快。（k的绝对值大小与直线倾斜程度的关系）第四环节：巩固练习 深化理解内容：练一练1在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k0）的图象是（ C ）2函数y=5x的图象经过第 一、三 象限，经过点（0， 0 ）与点（1， 5 ），y随x的增大而 增大 。3函数y=kx的图象经过点P(3，-1)，则k的值为 - 。4已知正比例函数y=kx的y随x的减小而减小，则函数的图形经过第 一、三 象限。5点A(
9、-1，y1)，B(-3，y2)都在直线y=2x上，则y1与y2的关系是（ D ）A y1 y2 B y1 y2 C y1 y2 目的：这里的五个练习题，一是让学生熟练正比例函数图象的作法，二是明确正比例函数图象的性质，要注意k对正比例函数图像的影响，培养数形结合的思想。6对于函数y=k2x（k是常数，k0）的图象，下列说法不正确的是（ C ）A是一条直线 B过点（，k） C经过一、三象限或二、四象限Dy随着x的增大而增大第五环节：课堂小结内容：本节课我们通过对正比例函数图象的研究，掌握了以下内容：（1）函数与图象之间是一一对应的关系；（2）正比例函数的图象是一条经过原点的直线；（3）正比例函数
10、图象与k之间的关系。目的：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时对本节所学知识有一个总结性的认识。效果：学生通过对本节学习的回顾和小结，对所学知识更清楚，抓住了重点，明确了关键。第六环节：作业布置四、教学设计反思这节内容学生主要利用数形结合的思想研究正比例函数的图象，对函数与图象的对应关系有点陌生。在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图象的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对“正比例函数的图象是一条直线”应让学生自己得出。在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线”，很快作出正比例函数的图象。在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力。
