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1、12.3角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定,能灵活运用角的平分线的性质和判定解题. 让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明有关角的平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.【重点】角的平分线的性质和判定,能灵活运用角的平分线的性质和判定解题.【难点】灵活运用角的平分线的性质和判定解题.【教师准备】多媒体课件,直尺和圆规. 【学生准备】 直尺和圆规. 导入一:小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点,如图所示,要从P点建两条管道,分别与暖气管道和天然气管道
2、相连,怎样修建管道最短呢?新修的两条管道长度有什么关系呢?导入二:工人师傅常常用一种简易平分角的仪器(如图所示),其中 AB =AD,BC =DC,将点 A 放在角的顶点, AB和 AD沿着角的两边放下,沿 AC 画一条射线 AE, AE 就是DAB 的平分线.你能说明它的道理吗? 设计意图创设生活情境,通过学生熟悉的生活场景,提高他们探究数学问题的积极性,并从中体会数学的应用价值.导入三:【师】前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗?学生思考回答.【师】你会作角的平分线吗?【生】会.【师】怎么作呢?【生甲】用折纸的方法来作.【生乙】用量角器来作.【师】很好,这节课我们继续学习角的平分线
3、的有关知识(板书课题).设计意图通过简单的复习导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生学习的积极性.一、角平分线的画法过渡语刚才我们接触了平分角的仪器,其实这种平分角的方法告诉了我们作已知角的平分线的一种方法.教师引导学生作图:已知AOB,求作AOB的平分线.学生讨论作法.【教师总结作法】(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N.(2)分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧在AOB的内部交于点P.(3)作射线OP,则OP为所要求作的AOB的平分线.学生作图.【师】你能说明OP为什么是AOB的平分线吗?学生进行交流,写出证明过程.教师巡回指导.【师】当AOB
4、两边成一直线时(即AOB=180),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?【生】垂直.【师】你会作吗?学生小组操作.教师帮助学生过直线外一点作已知直线的垂线.师生共同探究作法:设已知直线为AB,直线外一点为C.(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁;(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧交于点F;(4)作直线CF,直线CF就是所求的垂线.学生板演作图,集体纠正.设计意图用学生自主操作和师生共同探究的方法激发学生的学习兴趣,唤起学生的参与意识.二、角平分线的性质和判定过渡语利用平分角的仪器我们
5、掌握了画已知角的平分线的方法,下面我们共同探究角平分线的性质和判定方法.思路一如图所示,任意作一个角AOB,作出AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上再取几个点试一试. 【生】相等.【师】为什么?学生思考,小组讨论.你能证明这个结论吗?学生思考证明.【教师说明】一般情况下,我们要证明一个几何命题,可以按照类似于以下的步骤进行,即:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.教师找学生板演.已知:如图所
6、示,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE.证明:PDOA,PEOB,PDO=PEO=90,OC是AOB的平分线,AOC=BOC.在PDO和PEO中,PDO=PEO,DOP=EOP,OP=OP,PDOPEO(AAS),PD=PE.集体纠正.【师】你能总结这个结论吗?【生】角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.知识拓展利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,以后涉及角平分线上的点到角的两边的垂线段时,可直接得到其相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.【师】谁能说出它的逆命题?【
7、生】到角的两边距离相等的点在角的平分线上.教师引导学生思考教材第49页“思考”.如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为120000)? 【生】四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题的结论.从实践中可知:角平分线上的点到角的两边的距离相等,将条件和结论互换:到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上.证明如下:已知:如图所示,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E,PD=PE. 求证:点P在AOB的平分线上.证明:经过点P作射线OC,如图所示.PDOA,PEOB,PDO=PEO=90.在
8、RtPDO和RtPEO中,OP=OP,PD=PE,RtPDORtPEO(HL),DOP=EOP,即AOC=BOC,OC是AOB的平分线.点P在AOB的平分线上.知识拓展(1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.需要注意的是:在推导过程中应注意垂直关系的书写,指明垂线段,并由垂线段相等直接得到角相等,而不必再去证明三角形全等了.(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.思路二引导学生阅读教材第48页下面的“思考”,学生操作测量.得出结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.整体感知请同学们用逻辑推
9、理的方法来加以证明,将这个命题用图形描述出来,写出已知、求证.2.师生互动【互动1】【师】如图所示,这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等? 【生】全等三角形对应边相等.【师】归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢?【生】PDO与PEO.【师】怎样证全等?【生】可以通过AAS的判定方法.(略)【师】于是得到了角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.【互动2】【师】反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?我们也可通过“证明”来回答这个问题.【生】画出图形,写出已知、求证.【师】如图
10、所示,为了证明点Q在AOB的平分线上,可以画射线OQ,证明OQ平分AOB,即证BOQ= AOQ.又如何得到两个角相等呢? 【生】也可以通过证明三角形全等来证.由HL可证出DOQEOQ,于是EOQ= DOQ.【师】很好.这样就有角平分线的判定方法:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.明确、巩固利用三角形全等来证明角相等的方法.【互动3】【师】请同学们完成教材第49页“思考”.【生】把公路、铁路看成是两条相交线,设交点为O,作角的平分线OD,使OD=2.5 cm,点D即为所求.三、例题讲解过渡语刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例
11、题.如图所示,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等. 解析因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段的长度表示距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段的长,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F.BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE,同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【说明】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详
12、细证明过程.【思考】点P在A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?(点P在A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等)1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两条线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,它到此角两边一定等距离,而无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,而绝不会漏掉
13、一个.实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).1.如图所示,AD是ABC中BAC的平分线,DEAB于点E,SABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是() A.3B.4C.6D.5解析:过点D作DFAC于F,如图所示,AD是ABC中BAC的平分线,DEAB,DE=DF,由图可知SABC=SABD+SACD,1242+12AC2=7,解得AC=3.故选A.2.如图所示,OP平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是() A.PA=PBB.PO平分APBC.OA=OBD.AB平分OP解析:OP平分AOB,PAOA,PBOB,PA=
14、PB,OPAOPB,APO=BPO,OA=OB,选项A,B,C均正确,设PO与AB相交于E,如图所示,OA=OB,AOP=BOP,OE=OE,AOEBOE,AEO=BEO=90,OP垂直AB,而不能得到AB平分OP,故D不成立.故选D.3.如图所示,在ABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列成立的是() A.CEOCDOB.OE=ODC.CO平分ACBD.OC=OD解析:角平分线AD,BE相交于O点,CO平分ACB.故选C.4.如图所示,ABC中,C=90,AM平分CAB,BC=16 cm,CMMB=35,求点M到AB的距离. 解析:过点M作MDAB于D,先求出CM的长,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可求得DM的长.解:如图所示,过点M作MDAB于D,BC=16 cm, CMMB=35,CM=33+516=6(cm),C=90,AM平分CAB,DM=CM=6 cm,即点M到AB的距离为6 cm.12.3角的平分线的性质一、角平分线的画法二、角平分线的性质和判定1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.三、例
