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1、第一章,二、 无穷大,三 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第四节,无穷小与无穷大,一、无穷小,定义 1 无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0为极限的函数（或变量）。,无穷小一般用希腊字母 , , 等表示,无穷小的 - 定义,1.4 无穷小与无穷大 5,无穷小的例子,下列函数何时为无穷小？,下列函数何时为无穷小？,注意： (1) 任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小，如 0.01, 0.0000023。 (2) 0 是唯一的无穷小常数。 (3) 无穷小必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷小。,如,是无穷小,但,不是无穷小,定理 1 （极限与无穷小的
2、关系）,证 以极限 为例。,以下定理说明了无穷小的重要性,直观地看，应当有,是无穷小,(x) 是无穷小,此定理表明：在自变量的某个变化过程中，,这就是讨论无穷小的意义之一。,定理 1 （函数极限与无穷小的关系）,二、无穷大 (Infinity),例 考察当 时，1/x 的变化趋势。,当 时，,可以大于任何正数 M,例如,使得，当,时，就有,无论它多么大！,称 1/x 为 时的无穷大，记作：,所以,的刻划需要两个正数：,M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大: |f(x) | M 。, 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时( |x - x0 | )，就能保证 f(x)的绝对
3、值大于事先任意给定的 M 。,定义 2 无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）。,的定义：,使得，当,时，就有,严格地说，,表明极限,不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷大。,注意： (1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大。 (2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷大。,例2 证明：,分析,要,只要,要,只要,得,所以,证明：,要,证,只要,使得，当,时，就有,所以,铅直渐近线,水平渐近线,若,则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线,问：如何定义,以上定义如何修改？,M-X 定义,问：如何定义,以上定义如何修改？,见教材37页, 题 5,填空：,当,时，,是无穷大,当,时，,是正无穷大,填空：,当,时，,是负无穷大,不存在,两个基本极限：,两个基本极限：,定理 2 （无穷大与无穷小的关系） 无穷大与无穷小有倒数关系。,直观记忆,例如,内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,3. 无穷小与无穷大的关系,
