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1、 基础物理实验 59 图 4-1 单摆原理实验 4用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解；3学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器JD-2 物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图 4-1（单摆球的质量为 m）当球的半径远小于摆长 时，应用动量矩定理，在角l坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：(4-1) 0121Sinlgdt式中 t 为时间，g 为重力加速度， 为摆长。 当 （rad ）很小l1时， (4-2) 1sin则（4-1）式可简化为：（4-3）012lgdt令 (4-4)l1（4-3）式的解
2、为： （4-5 )sin(101t式中 ， 由初值条件所决定。10周期 （4-6）glT21 60 基础物理实验图 4-2 物理摆(复摆)2物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图 4-2，设物理摆的质心为 C，质量为 M，悬点为 O，绕 O 点在铅直面内转动的转动惯量为 ，OC 距离为 ，在重力作用0Jh下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为(4-7)sin20MghdtJ令 （4-8）0仿单摆，在 很小时， （4-7）式的解为： (4-9) )sin(t(4-10) Mg02设摆体沿过质心 C 的转动惯量为 ，由平行轴定理可知：C(4-11) 20J将（4-11）代入（4
3、-10）可得：（4-12）ghMTC(4-12)式就是物理摆的自由摆动周期 T 和（4-13）式右端各参变量之间的关系。实验就是围绕（4-12）式而展开的。因为对任何 都有 ，因此（4-13）式的 T 与 M 无关，仅与 M 的分布相关。CJ令 ， 称为回转半径，2Ma则有 （4-13）ghaT2一次法测重力加速度 g由（4-12）式可得出 基础物理实验 61 （4-14）MhJgC)(422测出（4-14）右端各量即可得 ；摆动周期 T，用数字计时器直接测出，M 可用天平称出，C 点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆， 可以计算出。CJ二次法测 g一次法测 虽然简明，但有很大的局
4、限性，特别是对于不规则物理摆， 就难以确定，为此采用如下“二次法”测 ：g当 M 及其分布（C 点）确定以后，改变 h 值，作两次测 T 的实验，运用（4-13）式于是有 12214MgJTC22h即 (4-15)04121JTghC(4-16)2联立解（4-15） 、 （4-16）式，可得出（4-17）2124Thg这样就消去了 ，所以（4-17）测 就有着广泛的适用性。从（4-17）式，更可十分明CJ确地看到 T 与 M 的无关性。虽然，任意两组（ , ） ， （ , ）实测值，都可以由（4-17）式算出 ；但是，1hT2 g对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（ , ）数据，使能得出最
5、精确的 的实测hT结果呢？为此必须研究 （ ）关系：将（4-12）式平方，于是可得出（4-18）gMhJC24 62 基础物理实验从此式可以看出 T2与 h 的关系大体为一变形的双曲线型图线：当 h 趋于 0 时T，当 h，T 亦趋于；可见在 h 的某一处一定有一个凹形极小值。为此，对（4-18）作一次求导并令其为 0；即由 可得,0dT（4-19）12gMhJC（4-20）2a即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即 h = a 处所相应的 T 为极小值（为什么？） 。（注意：体会称 a 为回转半径的含义） 将（4-13）式取二次导数为研究 T（h）关系特在 0.6m 长的扁平摆杆
6、上，间隔 2cm 均匀钻出直径为 1cm 的 28个孔以作为 O 点的 Hi 值（i= 1，2，3，14）于是可得出如图 4-3 所示的曲线。在共轭的 A，B 二极小 T 值点以上，沿任一 T h画一条直线，交图线于 C，D，E，F 四点；皆为等 T 值点，错落的两对等 T 值间的距离（h D+hE）= h C + hF被称为等值单摆长。为理解这一点，将（4-17）式的 T1与 TE（或 TD）对应，T 2与 TF（或 TC）对应，h 1为与 T1对应的 hE，h 2为与 T2对应的 hF，并将(4-17)式改形为：图 4-3 摆动周期 T 与摆轴离中心距离 h 的关系 基础物理实验 63 图
7、 4-4 加锤摆（4-22）)(2)(4112hThTg（4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。从（4-22）可知，当 T1 = T2（=T）时，即化为单摆形式的公式（4-6） ，故称（h E+hF） 、 （h C+hD）为等值单摆长。从（4-20）式可知： = = ；而 aX2 = hE+ h1 OBA从图 4-3 可知，A，B 二共轭点为 T（h）的极小值点，若在它附近取二个 h 值来计算则将引起较大的误差。所以欲取得精确的 的测量值，就只能取最大的 F 点和相应的g gE 点来计算 值。因孔的非连续性，E 只能取 TE近乎于 TF的点代入（4-22）式。还可取略
8、大、略小的两组值都计算出再取平均。A 或 B 在实验上虽然不利于测量出较精确的 ，但运行在 TB（或 TA）值下的摆，其性能最稳定。可倒摆为提高测 的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度g不同的两个摆锤对称地放置。于是质心 C 点随即被改变，图 4-3 的图线也随之改变，特别是 TC（即 T1） ，T F（即 T2）所相应的 hC（即 h1） ，h F（即 h2）也随之改变。但曲线的形状依归。所以，用此时的 T（=T F =TC）和 h1（=h C） ，h 2（=h F）按（4-22）式来计算出 。 g当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用 TCT F的实测值，这时（4
9、-22）式的右端的第 2 项仅具很小的值。所以（T 1T2）很小，而（h 1h2）较大。所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出 T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于 T1的值然后逐渐减 h2直至 T2小于 T1为止。将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆） ；（4-22）式就称为可倒摆计算式。摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。锤移效应a加锤摆的摆动周期 Tm设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为 M，质心为 C（设为坐标原点） ，摆心为 O，CO 距离为 h，质心 C
10、处与摆心 O 处沿 OZ 轴的转动惯量为 、 。以上条件皆固定不变。然CJ后再加一个圆柱形的摆锤，锤的回转半径为 r，质量为 m；正轴与上述各轴平行。锤移动沿 CO 方向为+X。置锤于 X 处，如图 4-4 所 64 基础物理实验示。摆的总质量为 M (4-23) mM质心变为 C，由一次矩平衡原理可得出(4-24)/(XC所以新的摆长h= (4-25)h)/(由平行轴定理，可得J0 (4-26) 222 )(XmrMa设重力加速度 已知（不变） ，则带锤的摆动方程式仿（4-7） 、 （4-10）式为：（动g量矩定理）(4-27)sin)/()(0 hgJ.加锤摆的周期公式 T m为：（4-2
11、8）)()(2222 xmMhgra在研究锤移效应时，令（固定不变）：(4-29)22raC(4-30)gk)(所以有 （4-31）)(22xmMhTm此式的特点：它与无锤摆的形式相似，即原 T（h）关系与现在 Tm（X）关系相似， （此时 h 为固定常数）由于 X 的取向等原因，所以 Tm（X）相当于图 4-3 曲线的左叶，T m（X）的渐近线为 ，即 时，T m 0Mh 基础物理实验 65 而 X 的负向则为，X，T m 注： ，则 Tm为复数（无意义）hM它也存在着极（小）值所以应由 （4-32）0)(dX令 dXfTmd )(2Xmhkcf所以有 0)()(2212 MkcdXmMhk
12、c令 , ,2)CUV代入 可得2(vXduudXv（4-33）0)()()(1)2)( 2 mMhmMhCmMh )2()( 2 XhcX= 0)22 mhX = Mhcmh2222 )(4)(分子，分母都除以 2m（根号内除以 4m2）得 66 基础物理实验mMhchX)(2122mhchh )()(2)()(2M22222)( （4-34）mhMch2)(所以 X 一定有解，T 有极值 T（X）如前所述，T（X）函数与 T（h）函数的性状是一样的，所以此极值也一定是极小；（以求 来判定，略去）2dx.零质量摆锤的周期（公式）T m0将 m=0 代入公式（4-28） ，可得)0()(222
13、0 XaMhgJCmJC2(4-35)hTga2Th意义就是与 X 平行的，值为 Th 的 T（X）函数线。T h也就是无锤摆在 = h 时的CO摆动周期值，这也就是研究 T（X）时为什么 X 的取向，原点都与原来的 T（h）的 h 取向、原点为一致的原因，而另取一个有别于 h 的符号 X 是为了讨论、理解得方便。理解这一点是弄明下一点的前提。.周期 Tm与 Th（即 m=0 时的 Tm）的交点，即有 Tm =Th也就是令（4-28）式与（4-13）式相等，于是有： 基础物理实验 67 （4-36）gha2 )()( 222XmMhgrah2 )()( 22mrMga2)(222Xhgr0)(222 rahX所以 )(解得 （4-372)(4)(22rahahX）上式如下特点：它与 m 无关。即锤的结构、形状相同（r 相同）而密度（即质量）不同的摆锤，在 X 处摆的周期 T 相等。它在 r a 条件下有两个实根。 当 r （4-38224)(ha）即虽然它与锤质量无关，但它与质量的分布（回转半径 r）相关，且 r 满足（4-38）式时，无解。 当 r （4-39ha2)(42）时退化为只有一个解：
