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1、线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图（6） 公理4线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直（1）（2）（3）（4）（5）（11）（12）（13）（14）（7）（9）（8）（10）1线线平行： （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）（4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（线面平行线线平行）（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行线线平行） （12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行2线线垂直： （9）线面垂直的性质
2、：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）3线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（线线平行线面平行）（5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行线面平行）4线面垂直： （7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线垂直线面垂直）（11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，
3、那么另一条也垂直于这个平面（14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面（面面垂直则线面垂直）5面面平行： （4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面平行面面平行）（13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行6面面垂直：（8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直（面面垂直则线面垂直）7.直线与平面所成的角PAB（1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和
4、这个平面所成的角.这个角的范围为.（2）斜线与平面成角计算一般步骤：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把这个角放在三角形中计算. 注：斜线与平面所成的角为，其中.二、典型例题例1：三棱锥中， ，证明：.CBAP （判定定理、定义）CDAPB变式1：三棱锥中，满足， ，D是边PC的中点，证明：.（判定定理、定义、等腰三角形的高）CDAPB变式2：三棱锥中，D是边PC的中点，证明：.（判定定理、定义、勾股定理）变式3：三棱锥中， ，满足，D是边PC的中点，.证明：.（判定定理、定义、面面垂直性质定理）CBAPD例2：【信宜市2015届高三10月统
5、测】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱,是的中点，作,交于点F.（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积；PABCDEF（3）证明：.三、巩固训练、能力提升1.【2014高考北京卷 节选】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点.求证：平面平面.2.【2014高考江苏卷 节选】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.证明：平面平面.3.【2013年高考北京 节选】如图,在四棱锥中,平面底面,和分别是和的中点,求证:（1）底面；（2）平面平面.4.【肇庆市2015届高中毕业班第一次统一检测】如图，已知PAO所在的平面，AB是O的直径，AB=2，C是O上一点，且AC=BC=PA，E是PC的
6、中点，F是PB的中点.（1）求证：EF/平面ABC；（2）求证：EF平面PAC；（3）求三棱锥BPAC的体积.5.【广东2015届高三第一次六校联考】直角梯形中,，平面平面，为等边三角形，分别是的中点，.（1）证明：；（2）证明： 平面；（3）若，求几何体的体积.6.【广州六中2015届9月高三第二次月考】如图，在三棱柱中，底面，且为正三角形，为的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积 7.【广州市荔湾区2015届高三11月调研测试】如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且.（1）求证：；（2）求点到平面的距离8.【韶关市2015届高三
7、模拟底考试】如图，长方体的底面是正方形，线段上有两个点，.（1）证明：；（2）证明：；（3）若,是线段上的点，且，求三棱锥的体积.9.【2015届中山七校联考】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点O是对角线与的交点,是的中点,. （1）求证：平面； （2）平面平面；（3）当四棱锥的体积等于时,求的长.10.【2014高考浙江卷】如图，四棱锥中，平面平面,，.ADEBC（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值. 11.【深圳市2015届高三年级第一次五校联考】如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥ABFE的体积电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究
