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1、10.2等腰三角形,复习 什么样的三角形叫做等腰三角形？,(有两边相等的三角形),腰,顶角,底边,底角,腰,底角,(1)把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三角形拿出来. (2)把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C. (3)把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD.,观察后你发现了什么现象？,做一做,1.等腰三角形是轴对称图形,2. B = C,3.BD = CD ，AD 为底边上的中线,4.ADB = ADC = 90，AD为底边上的高,5.BAD = CAD ，AD为顶角平分线,问题1、结论(2)用文字如何表述？,等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”),
2、问题2、结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归纳为什么？,性质定理：,等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”).,几何书写：,AB=AC(已知),B=C(等边对角),ADBC BD=CD (等腰三角形三线合一),几何书写：,AB=AC (已知) 1=2 (已知),推论： 等腰三角形 顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线 互相重合.(三线合一),1,2,证明：,作顶角的平分线AD. 在BAD和CAD中，,AB=AC ( 已知 )，, 1= 2 ( 辅助线作法 )，,AD=AD (公共边) ，, BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,已知： ABC中
3、，AB=AC. 求证： B= C.,1,2,证明：等腰三角形的两个底角相等,作顶角的平分线,D,证明等腰三角形的性质,证明：,作底边中线AD. 在BAD和CAD中，,AB=AC ( 已知 )，,BD=CD ( 辅助线作法 )，,AD=AD (公共边) ，, BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,已知： ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,D,证明：等腰三角形的两个底角相等,作底边中线,证明等腰三角形的性质,证明：,作底边高线AD.,AB=AC ( 已知 )，,AD=AD (公共边) ，, Rt BAD Rt CAD (HL)., B= C (全等三角形
4、的对应角相等).,已知： ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,D,证明：等腰三角形的两个底角相等,作底边的高线,在RtBAD和RtCAD中，,证明等腰三角形的性质,已知：如图，在ABC中， AB=AC， BD、CE是ABC的角平分线,例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.,用心想一想，马到功成,求证：BD=CE,证明：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角) 1= ABC，2= ACB，1=2 在BDC和CEB中， ACB=ABC，BC=CB，1=2 BDCCEB(ASA) BD=CE(全等三角形的对应边相等),1、已知：在ABC中，AB=AC，A=80。 求C和B的度数,练习
5、,2、已知ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.,A,B,C,D,解： AB=AC，(已知) ABC=C (等边对等角) BD=BC=AD， (已知) C=BDC (等边对等角) A=ABD 设A=x，则ABD= x， BDC=2 x， C=2 x，,x,x,2x,2x,根据题意得：x+2x+2x=180 x=36 即A=36ABC =ACB=72,练习,3、已知AD BC，试找出等腰三角形ABC (AB=AC)中，存在相等关系的量.,B=C 1=2 BDA=CDA=90 BD=CD,练习,4、填空：在ABC中，ABAC， D 在BC上， (1)如果ADB
6、C，那么BAD = _， BD = _. (2)如果BAD= CAD，那么AD_， BD = _. (3)如果BD=CD，那么BAD = _， AD_， ADB = _=_,D,CAD,CD,BC,CD,CAD,BC,ADC,90,练习,5、在三角形ABC中，AB=AC，且AD BC，已知BD=2cm，求DC=_cm， BC=_cm？, AB=AC ，AD BC(已知) BD=CD(等腰三角形的高与底边上的中线重合) 即(等腰三角形三线合一) BD=2cm(已知) CD=2cm,练习,通过本节课的学习，你有哪些收获？,定理：等边对等角,推论：“三线合一”,常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的
7、度数,研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线,等 腰 三 角 形,建筑工人在盖房子时，用一块等腰三 角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系 重物的绳子正好经过三角板底边中点，就 说房梁是水平 的，你知道其中 反映了什么数学 原理？,讨论：,问题 已知ABC 中，A =60，( ). 请你在括号内补充一个条件，使ABC 能成为等边三角 形.,B =60(或C =60) AB =BC、AC =BC、AB =BC =AC,创设情境，导入新知,思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？,创设情境，导入新知,思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一 条
8、对称轴折叠，能产生什么特殊图形？,活动 用两个全等的含30角的直角三角尺，你能 拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的 理由,活动操作，探索性质,BC = AB,活动操作，探索性质,问题 你能借助这个图形，找到含30角的直角 ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？,思考 这个命题是真命题吗？请进行证明,问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.,活动操作，探索性质,猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.,证明：在ABC 中， C =90，A =30， B =60 延长BC 到D，使B
9、D =AB， 连接AD， 则ABD 是等边三角形,已知：如图，在RtABC 中，C =90，A=30. 求证：,活动操作，探索性质,BC = AB,符号语言： 在RtABC 中， C =90，A =30，,动手操作，探索性质,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么 它所对的直角边等于斜边的一半., BC = AB,等腰三角形的底角为15腰长为2a，求腰上的高,例题3,已知：如图，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高； 求：CD的长.,解：ABC=ACB=15 DAC=ABC+ACB=15+15=30 CD= AC= 2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角
10、等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半),5,课堂练习,练习1 如图，在ABC 中，C =90，A = 30，AB =10，则BC 的长为 ,1,课堂练习,练习2 如图，在ABC 中，ACB =90，CD 是 高，A =30，AB =4则BD = .,想一想,小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？,我们来看一位同学的想法： 如图，在ABC中，已知BC，此时AB与AC要么相等，要么不相等 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得C=B，但已知条件是BC“C=B”与已知条件“BC”相矛盾，因此 ABAC 你能理
11、解他的推理过程吗？,再例如，我们要证明ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法. 假设有两个角是直角，不妨设A=90，B=90， 可得A+B=180，但ABC中A+B+C=180 “A+B=180”与“A+B+C=180”相矛盾， 因此ABC中不可能有两个直角,上面的证法有什么共同的特点呢？,在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立我们把它叫做反证法,活动与探究,1.如图，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，设AB=12，AC=18，求AMN的周长.,分析：要求AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口,等边三角形性质： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60.,推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.,推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,课时小结,反证法：先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾.,
