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1、以不变应万变教学设计番禺区市桥桥兴中学 梁丽仪题目：第5题 如图，ABC为等腰三角形， BDC和ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G。求证：G为AB的中点。一、教学目标：1、理解垂直平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。2、运用等腰三角形、等边三角形的性质与判定。3、初步应用转化的数学思想。二、题目背景：本题目出自初中数学八年级上册第93页复习题之“拓广探索”第14题。这道题是第十三章轴对称的一道课外拓展题，它涉及的知识点有：1、等腰三角形的性质与判定；2、等边三角形的性质；3、
2、轴对称的性质；4、垂直平分线的性质与判定等。三、教学过程：（一）题目分析：如图，由题目的已知条件“ABC为等腰三角形， BDC和ACE分别为等边三角形”可知，题目这里隐含了条件：BDC和ACE为全等的等边三角形，所以CAE=CBD=60。由题目的条件“等腰”、“等边”比较容易想到“等边对等角”、“等角对等边”这两个重要性质定理， 从而实现等边、等角、再等边的转化。另外，要证明G是AB的中点，可以运用本章的重点内容“垂直平分线”性质进行证明。（二）解题过程：证明：AC=BCCAB=CBABDC和ACE分别为等边三角形CAE=CBD=60CAB-CAE=CBA-CBD即BAE=DBAFA=FBCA
3、=CB，FA=FBC在AB的中垂线上，F在AB的中垂线上。即 CF垂直平分ABG为AB的中点。四、总结提升 1、总结：本题目主要运用了等腰（等边）三角形性质中的“等边对等角”、“等角对等边”，以及轴对称图形中的中垂线的判定定理。通过这些定理的应用，把题目中的中点证明问题转化为中垂线的证明问题。2、提升一： 由题目的已知条件“ABC为等腰三角形， BDC和ACE分别为等边三角形”可知，题目这里隐含了条件：BDC和ACE为全等的等边三角形，我们容易联想到钟摆：以点C旋转点，BDC旋转一定的角度（记做1）后可以得到ACE。（1）提出疑问：当1（即DCA）在变化时，“G是AB的中点”这一个结论还成立吗
4、？当1在变化时，“G是AB的中点”这一个结论是不变的。如图所示（证明过程与原题的过程是一致的）。证明：AC=BCCAB=CBABDC和ACE分别为等边三角形CAE=CBD=60CAB-CAE=CBA-CBD即BAE=DBAFA=FBCA=CB，FA=FBC在AB的中垂线上，F在AB的中垂线上。即 CF垂直平分ABG为AB的中点。（2）提出疑问：若BDC顺时针旋转时，“G是AB的中点”这一个结论还成立吗？证明：AC=BCCAB=CBABDC和ACE分别为等边三角形CAE=CBD=60CAE -CAB =CBD -CBA即BAE=DBAFA=FBCA=CB，FA=FBC在AB的中垂线上，F在AB的中垂线上。即 CF垂直平分ABG为AB的中点。结论：当BDC顺时针旋转时，“G是AB的中点”这一个结论仍然成立。（3）提出疑问：如图，“G是AB的中点”这一个结论还成立吗？证明：AC=BCCAB=CBABDC和ACE分别为等边三角形CAE=CBD=60180-CAB-CAE=180-CBA-CBD即BAF=FBAFA=FBCA=CB，FA=FBC在AB的中垂线上，F在AB的中垂线上。即 CF垂直平分ABG为AB的中点。结论： “G是AB的中点”这一个结论仍然成立。3、思考提升： 若BDC和ACE全等的等腰三角形，那么“G是AB的中点”这一个结论还成立吗？
