第三章--连续型随机变量

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1、第三章 连续型随机变量教学目的1使学员掌握一、二维分布函数的定义及性质2使学员熟练掌握一维连续型分布函数与密度函数的关系,熟悉均匀分布,指数分布,分布的密度。3使学员熟记正态密度及其性质,牢固掌握正态分布表的查法。4使学员掌握二维连续型随机变量联合分布(密度)与边际分布(密度)的概念及计算,了解条件分布的概念。5使学员牢固掌握连续型随机变量独立性的概念及判别。6使学员掌握一、二维连续型随机变量函数的分布,熟记,t,F分布的构造性定理(了解其推导)7使学员牢固掌握连续型随机变量期望、方差的定义、性质,熟记正态分布的期望、方差、均方差,掌握随机变量协方差(含协方差阵)相关系数,矩概念,了解条件期望

2、的概念。8掌握一维随机变量特征函数的定义及性质,熟记单点分布,二项分布、正态分布的特征函数,了解有关结论的推导,了解逆转公式,理解唯一性定理的含义。3.1 随机变量及分布函数定义3.1 设()是一个概率空间,对于是一个取实值的单值函数,对任意的,有,则称为()上的一个(实)随机变量。上面的表上的Borel域由的构成可见是一个事件,这个事件的概率是研究的统计规律的基础,这个概率显然与x有关,是x的函数,我们称它为的分布函数。定义3. ()是一概率空间,为定义在()上的随机变量,我们称 (3.1)是随机变量的概率分布函数,简称分布函数或分布用简记。由概率测度的性质易推出,分布函数具有如下基本性质定

3、理3.1 变量是的,则有(1)对任意实数,有,(单调不减性) (3.2)(2)(3.3) (3.3)(3)对一切,(左连续性) (3.4)证:(1)由可得(2)由分布函数的定义有,由(1)又是单调函数,故有,(为整数)由概率的可列可加性有1= = =所以必有(3)因单调有界,所以对任一实数点,的左极限存在,且其中又因为由概率的可列可加性由上述消去得反过来,也能证明,满足上述(1)(3)的函数是一个概率分布函数。由上述可知,分布函数是一种分析性质良好的函数,便于处理。易验,对任意可用的表示出来。由及概率的连续性得 (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9)可见分布函数全面描述了随

4、机变量的统计规律,对于离散型随机变量来说,其分布列和分布函数是一一对应可互推的,但在离散型场合,我们用分布列更方便。例3.1 将三个可辨的质点随机投入三个格子(假定每个格子装任意多质点)以表空格数,求的分布列及分布函数。并求。解:显然的的可能取值为0,1,2,即012P其分布函数为 可见离散型分布函数是一个阶梯函数,它在的每一个可能取值点处有 跃度例3.2 若 正好是示性函数例3.3 Poisson分布的分布函数。3.2 连续型随机变量定义3.2 若是随机变量,是它的分布函数,如果存在可积函数,使对任意,有 (3.11)则称为连续型随机变量,相应的称为连续型分布函数,同时称为的概率密度函数,简

5、称密度。其具有如下性质:(1)(3.12) (2)(3.13)反之,任意一个实函数具有以上两个性质,则就是一个概率密度。由(3.11)式它就定义一个连续型分布函数,由定义看出连续型分布函数是处处连续的,是一个绝对连续函数。由上定义可得,对连续型 (3.14)特别地: (注意:()不一定是不可能事件) (3.15)由于,(很小时)因此密度的值在一定程度上反映了在x附近取值的大小,从某种意义上说,连续型随机变量的密度函数与离散型变量的概率函数相当。在的连续点处,有 (3.16)下面举几个常见的连续型分布。1均匀分布其它若的密度形如 则称服从(a,b)上的均匀分布,记为这时的为 (3.17)2指数分

6、布若的密度形如:, (0,为参数)则称服从指数分布指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似,如某些电子元件的寿命服从指数分布,指数分布与几何分布一样,具有“无记忆性”即有统计学中常称指数分布为“永远年青”的分布。3正态分布若是两个常数,则, (3.18)是一个概率密度称(3.18)为正态密度。它对应的为, (3.19)称为正态分布,简记为,如果一个随机变量的分布函数是正态分布,则称为正态变量,记为特别称N(0,1)分布为标准正态分布,其密度记为,相应的分布函数记为,即, (3.20)(一)正态密度的性质如下(1)其密度描述的曲线称为正态曲线,它是以为对称轴的钟形曲线。(2)在处,曲线处于最高点,

7、(3)决定曲线形状,越大,曲线越矮胖,的分布越平缓,越小,曲线越高瘦,越是集中取值于之附近。(见书P115图3.7)(二)正态分布表设,则在时之值可在书P502表3中查出:(1)(2)当0时,(3)若,则可以验证,于是有 =例3.4 已知,查表求解: = = =20.84131=0.6826上面的三个概率称为正态变量的原理。可以看到,正态变量基本上分布在()内,在()外取值的可能性极小。4分布(Gamma)若的分布密度形如: ,()则称服从参数为()的分布,记为,其中为积分值,即 ()积分具有性质: ,, (n为自然数)3.3 多维随机向量及其分布(一)n维联合分布及边际分布定义3.3 设是定

8、义在同一可测空间()上的随机变量,则称这n个随机变量的整体()为()上的n维随机向量或n维随机变量。由可测空间的性质及一维随机变量的定义,对任意n个实数,若记则有定义3. 称n元函数,为n维随机变量()的联合分布函数,简称联合分布或分布。联合分布函数可以完全描述n维随机向量的统计规律。设()为二维随机向量,那么二维联合分布,表点()落如下图阴形区域的概率。此外,由概率的有限可加性可推出二维分布函数不仅具有类似一维分布函数的性质,还有其特殊性质,即定理3.2 二维分布函数具有下述性质(1)对每一变元单调不降(2)对每一变元左连续,即有(3)对任意x,y有 (3.21) (3.22)(4)(相容性

9、)对任意有 (3.23)上面四条,前三条不能推出第四条,反之,可以证明,满足上四条性质的二元函数可作为某个二维联合分布函数。如果二维,则的,可以由求得 (3.24) 同理 (3.25)我们称,为联合分布的边际分布函数,简称边际分布。(二)二维连续型随机向量定义3.4 设随机向量()的联合分布函数为,若存在函数,使对任意,有 (3.26)则称为二维连续型分布函数, ()为二维连续型随机向量。称为(或()的联合概率密度函数,简称联合密度。它具有以下性质:(1),(2)反过来任一具有上述两条件性质的二元函数必是某个二维随机变量的密度,此外还有(3)若的连续点处,有 (3.27)(4)若G是一个二维可

10、测区域,则 (3.28)特别地 =由一维连续型分布的定义, (3.29)同理 (3.30)分别称上面的,为边际密度。例3.5 (书P122)设二维随机变量具有密度,。试求:(1)常数c(2)分布函数(3)边际分布函数及边际密度(4)求,其中G为下图所示两种常见的二维连续型随机向量1均匀分布设G是平面上的一个有界可测域,其面积为A,若具有如下联合密度:其它 则称服从区域G上的均匀分布,其描述的是二维平面上的几何概型。2二维正态分布若具有如下联合密度:其中,为五个常数,则称服从二维正态分布,记为称为二维(元)正态密度,下面要求边际密度。(令,令) = = =即同理,即由上可见,二维正态分布的边际分布是一维正态分布,且边际分布与参数无关,也就是说,如,则与是不同的,但它们都有相同的边际分布。这又一次说明,一般来说,边际分布不能唯一确定联合分布。(三)随机变量的独立性定义3.5 设二维随机变量()的联合分布函数为,边际分布函数为,若对任意的(x,y)有 (3.31)成立,则称与相互独立。由连续型随机变量分布函数和密度函数的对应关系,可得下面用起来更方便的结论:设连续型随机变量()的联合密度为,边际密度为,则相互独立的充要条件是对任意的(x,y),有: (3.32)例3.6 设(),则相互独立的充要条件是。证:()的联合密度和边际密度分别为当时即(3.32)成立,故相互

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