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1、 63 第二章 连续时间系统的时域分析 2 . 1 学习重点 1、建立系统的数学模型微分方程，描述系统激励( )tf与响应( )ty的关系，对连续 时间系统进行时域分析。 2、学会应用经典时域分析法求解微分方程。 3、深刻理解系统的零状态响应为( )tyzs，零输入响应为( )tyzi，以及全响应， 会根据微分方程的特征根与已知系统的初始条件求解。 4、深刻理解系统的冲激响应( )th以及阶跃响应( )tg的意义，掌握其求解方法。 5、掌握卷积积分的定义、性质和运算，会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状 态响应( )tyzs。 6、利用 MATLAB进行 LTI 连续系统的时域分析 2 .
2、2 教材习题同步解析 2- 1 列写图2.1所示中( )( )( )tutiti 021 ,的微分方程。 【知识点窍】本题考察系统方程的基尔霍夫定 律。 【 逻 辑 推 理 】 对 任 一 点 有 KCL： ( ) =0ti 对任一回路有 KVL： ( ) = 0tu 解：因 LR uu= 1 ，根据 VCR,有: 图 2.1 64 ( ) ( ) dt tdi LtRi 2 1 = 即 ( ) ( ) dt tdi ti 2 1 2= 根据 KVL： ( )( )( )( )tututute cRR += 21 根据 VCR： ( )( )( )titiRtuR 1111 2= ( )( )
3、( )()( )( )titititiRtuR 212122 22+=+= ( )( )( ) ( )( ) dt tdu dt tdu Ctititi cc c 2 1 21 =+= 式和式代入式中，有： ( )( )( )( )tutitite c += 21 24 将式代入式中，得到： ( ) ( ) ( )( )tuti dt tdi te c += 2 2 22 对式求一阶导，有： ( )( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tid dt tde c += 2 2 2 2 22 将式代入式中，有： ( )( )( ) ( )( )titi dt tdi dt tid
4、dt tde 21 2 2 2 2 2222+= 再将式代入式中，得到( )ti2的微分方程为： ( )( ) ( ) ( ) dt tde ti dt tdi dt tid =+ 2 2 2 2 2 232 对式求一阶导，得到： ( )( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tdi dt tde c += 21 24 将式、式代入式中，得到： ( )( ) ( )( )titi dt tdi dt tde 21 1 264+= 对式求导，得到： ( )( )( )( ) dt tdi dt tdi dt tid dt ted 21 2 1 2 2 2 264+= 再将式代入式中
5、，得到( )ti1的微分方程为： 65 ( )( )( ) ( )ti dt tdi dt tid dt ted 1 1 2 1 2 2 2 464+= 根据 KVL，有： ( )( )( )( )( )tutitutute R0101 2+=+= 对式求一阶导和二阶导，得到： ( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tde 01 2+= ( )( )( ) 2 0 2 2 1 2 2 2 2 dt tud dt tid dt ted += 式子2式3式2，消去( )ti1，整理后得到( )tu0的微分方程为： ( )( ) ( ) ( )( ) ( )te dt tde dt
6、ted tu dt tdu dt tud 23232 2 2 0 0 2 0 2 +=+ 2- 2 已知描述系统的微分方程如下： （1）( )( )( )023 =+tytyty （2）( )( )( )022 =+tytyty （3）( )( )( )02 =+tytyty 当初始条件为( )( )00, 10=yy时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为 023 2 =+ 可解得特征根为 2, 1 21 = 微分方程齐次解为 ( ) tt h eAeAty 2
7、21 += 由初始状态为( )( )00, 10=yy，则有： = =+ 02 1 21 21 AA AA 66 由联立方程可得 1, 2 21 =AA 故系统的零输入响应为： ( ) tt zi eety 2 2 = （2）由原微分方程可得其特征方程为 022 2 =+ 可解得特征根为 i= 1 2, 1 微分方程齐次解为 ( )()tCtCety t h sincos 21 += 由初始状态为( )( )00, 10=yy，则有： =+ = 0 1 21 1 CC C 由联立方程可得 1, 1 21 =CC 故系统的零输入响应为： ( )()ttety t zi sincos += （3）
8、由原微分方程可得其特征方程为 012 2 =+ 可解得特征根为 1 2, 1 = 微分方程齐次解为 ( ) tt h teCeCty += 21 由初始状态为( )( )00, 10=yy，则有： =+ = 0 1 21 1 CC C 由联立方程可得 1, 1 21 =CC 故系统的零输入响应为： ( ) tt zi teety += 2- 3 已知描述系统的微分方程如下： （1）( )( )( )02 3 =+tytyty 67 （2）( )( )( )0 2 =+tytyty 当初始状态为( )( )( )10 00=yyy时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。
9、【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为 023 23 =+ 可解得特征根为 2, 1, 0 321 = 微分方程齐次解为 ( ) tt h eCeCCty 2 321 += 由初始状态为( )( )( )10 00=yyy，则有： =+ = =+ 14 12 1 32 32 321 CC CC CCC 由联立方程可得 1 , 3 , 3 321 =CCC 故系统的零输入响应为： ( ) tt zi eety 2 33 += （2）由原微分方程可得其特征方程为 02 23 =+ 可解得特征根为 1, 0 3, 21 = 微分方程齐
10、次解为 ( ) 321 CteCeCty tt h += 由初始状态为( )( )( )10 00=yyy，则有： = =+ =+ 12 1 1 21 21 31 CC CC CC 由联立方程可得 4 , 2 , 3 321 =CCC 故系统的零输入响应为： ( )423+= tt zi teety 68 2- 4 已知某 LTI 系统的微分方程模型为 ( )( )( )( )tftytyty=+2 （1）用两种方法（微分方程法和卷积积分法）求该系统的阶跃响应( )tg； （2）求系统对输入( )( )ttetf t 3cos 2 =的零状态响应。 【知识点窍】本题考察 L T I系统的微分方
11、程的单位冲激响应和单位阶跃响应，及其关系；零状 态响应的卷积求解法。 【逻辑推理】求阶跃响应时可采取两种方法：直接求解微分方程零状态条件下的阶跃响应，或 利用冲激响应积分。 零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解： （1）方法一：微分方程法 由微分方程得特征根为 1, 2 21 = 由此可得阶跃响应形式为 ( )( )teCeCtg tt += 2 1 2 2 1 对上式求一阶、二阶导数，得 ( )()( )( )teCeCteCeCtg tttt += 2 1 2 2 2 12 2 1 ( )()( )()( ) ()( )( )teCeCteCeC teCeCteCeC
12、tg tttt tttt 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 1 2 24 + += 将阶跃响应( )tg及其一阶、二阶导数代入原方程，得： ( )( )( )( )tteCeCteCeCt tttt = + + 2 1 2 1 33 2 2 12 2 1 利用单位冲激函数的性质，得： ( )0 2 1 33 2 1 33 212 2 1 =+= + CCteCeC tt ( )( ) () ( )02 2 1 2 1 21212 2 1 =+ += + tCCtCCteCeC tt 69 得 =+ =+ 02 0 2 1 21 21 CC CC 则得系数 3 1 , 6 1 21
13、 =CC。将其代入得阶跃响应( )th ( )( )teetg tt += 2 1 3 1 6 1 2 方法二：卷积积分法 由微分方程求得特征根，进而可得冲激响应形式为 ( )()( )teCeCth tt 2 2 1 += 对上式求一阶、二阶导数，得 ( )()( )()( )teCeCteCeCth tttt 2 2 12 2 1 2+= ( )()( )()( ) ()( )()( )teCeCteCeC teCeCteCeCth tttt tttt 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 24 + += 将冲激响应( )th及其一阶、二阶导数代入原方程，即 ()( )()( )( )tteCeCteCeC tttt =+ 33 2 2 12 2 1 利用单位冲激函数的性质，得： () ( ) () ( ) () ( )( )ttCCtCCtCC=+ 212121 233 得 =+ =+ 12 0 21 21 CC CC 则得系数 3 1 , 3 1 21 =CC。 将其代入得冲激响应 ( )( )teeth tt += 3 1 3 1 2 则系统的阶跃响应为 ( )( )( ) ( ) () (
