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1、正n边形对角线在形内交点的计数公式 樊益武 (陕西蓝田县北关中学 710500) 1986年张忠辅先生提出 “寻求正n边形 在形内交点的计数公式” 问题,杨之猜想:当 n为奇数时,任何三条或三条以上对角线在 形内不共点1. 1997年罗增儒先生在他的专 著 数学解题学引论 一书中,将其列为第8 个待解决的问题.本文用解析法解答了这一 问题. 引理2 设l1:a1x+b1y+c1= 0,l2:a2x +b2y+c2= 0,l3:a3x+b3y+c3= 0,则由l1, l2,l3所围成的三角形面积为S= 2 2123 的绝对值.其中 = a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 1,2,3分别为c
2、1,c2,c3的代数余子式. 推论 两两相交的三条直线共点的充要 条件是= 0. 为解决所述问题,我们以正n边形A0A1 An- 1的中心O为原点,OA0为x轴建立直 角坐标系xOy,不失一般性,设其外接圆的半 径为1,则Ai点的直角坐标为 (cos 2i n , sin 2i n )(i= 0, 1, 2,n- 1). 这里我们仅研究n6的情况.任取六个 顶点A0,Ah,Ap,Aj,Ak,Aq,其中 0 0 (1)当n为奇数时,AhOAk,由 得 0 0; 同理cosB- coscosC 0,由得- 0. 由推论知,对角线A0Aj,AhAk,ApAq不 共点.由于这三条对角线的任意性,可知正
3、n 边形A0A1An- 1在形内无三条或三条以上 对角线共点.这就证明了杨之的猜想. (2)当n为偶数时,注意到在k-h=n?2 时,AhOAk=,类似于的讨论有 cosAcosC0, cosA- coscosC0, cosBcosC0, cosB- coscosC0, 由得 -0. 当且仅当cosA= cosB= cosC= 0时, = 0,此时对角线A0Aj,AhAk,ApAq均为正n 边形A0A1An- 1外接圆的直径. 由(1), (2)可得如下 定理 记正n( 4) 边形对角线在形内 的交点数为f(n ), 则 f(n )= C 4 n C 4 n-C 2 n?2+ 1 (n为奇数 ); (n为偶数 ). 证 从n个顶点中任取4个得一个四边 形,它有1个在形内的交点,因此 (1)当n为奇数时,没有3条或3条以 上对角线共点,所以 f(n )= C 4 n. (2)当n为偶数时,有 n 2 条对角线为外 接圆的直径,它们两两相交于一点即中心,所 以此时 f(n )= C 4 n-C 2 n?2+ 1. 证毕. 参考文献 1 杨之.近年中国初等数学研究的若干新成果.数 学通讯, 1994(7), 2 周华生.三线形面积公式及其推广.数学通报, 1996(9) 131998年第11期 数 学 通 讯
