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1、第2讲导数的应用(一)【2013年高考会这样考】1利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间2由函数单调性和导数的关系，求参数的范围【复习指导】本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间基础梳理1导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线l的斜率，切线l的方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为sf(t)，则f(t0)是物体运动在tt0时刻的瞬时速度3函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)
2、，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减易误警示直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上
3、是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间双基自测1(2011山东)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3C9 D15解析由已知y3x2，则y|x13切线方程为y123(x1)，即y3x9.答案C2(2012烟台模拟)函数f(x)x22ln x的递减区间是()A(0,1 B1，)C(，1)，(0,1) D1,0)，(0,1解析函数的定义域为(0，)，又f(x)2x2由f(x)0，解得0x1.答案A3(2012长沙一中月考)若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小值为()A1 B.C. D.解
4、析由已知y2x，令2x1，解得x1.曲线yx2ln x在x1处的切线方程为y1x1，即xy0.两直线xy0，xy20之间的距离为d.答案B4(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)4.9t26.5t10，高台跳水运动员在t1 s时的瞬时速度为_答案3.3 m/s5函数f(x)x33x21的递增区间是_解析f(x)3x26x3x(x2)，由f(x)0解得x0，或x2.答案(，0)，(2，)考向一求曲线切线的方程【例1】已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在x2处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程审
5、题视点 由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点解(1)f(x)3x28x5f(2)1，又f(2)2曲线f(x)在x2处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)f(x0)3x8x05则切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过(x0，x4x5x04)点，则x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02，或x01，因此经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20. 首先要分清是求曲线yf(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线(1)求曲线yf(x)在xx0处的切线方程可
6、先求f(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程【训练1】 若直线ykx与曲线yx33x22x相切，试求k的值解设ykx与yx33x22x相切于P(x0，y0)则y0kx0，y0x3x2x0，又y3x26x2，ky|xx03x6x02，由得：(3x6x02)x0x3x2x0，即(2x03)x0.x00或x0，k2或k.考向二函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间审题视点 函数单调的充要条件是f(x)0
7、或f(x)0且不恒等于0.解(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0，得a.记t(x)，当x1时，t(x)是增函数，t(x)min(11)0.a0.(2)由题意，得f(3)0，即276a30，a4.f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.令f(x)0，得x1，x23.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x，3，)时，f(x)单调递增，当x时，f(x)单调递减 函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f(x)0(或f
8、(x)0)即可【训练2】 已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由解f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上递增，若a0，exa0，exa，xln a.因此f(x)的递增区间是ln a，)(2)由f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3.当ae3时f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)0，即f(x)在(2,3)上为减函数，ae3.故存在实数ae3，使f(x)在(2,3)上单调递减考向三利用导数解
9、决不等式问题【例3】设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.审题视点 第(2)问构造函数h(x)exx22ax1，利用函数的单调性解决(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 2
10、2a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1. 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对xa，b都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)只要利用导数说明h(x)在a，b上的最小值为0即可【训练3
11、】 已知mR，函数f(x)(x2mxm)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m0时，求证f(x)x2x3.(1)解由已知条件f(x)0无解，即x2mxm0无实根，则m24m0，解得0m4，实数m的取值范围是(0,4)(2)证明当m0时，f(x)x2ex设g(x)exx1，g(x)ex1，g(x)，g(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)0由此可知对于xR，g(x)g(0)即exx10，因此x2(exx1)0，整理得x2exx3x2，即f(x)x3x2.阅卷报告2书写不规范失分【问题诊断】 利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，
12、即只需由f(x)0或f(x)0，求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分.【防范措施】 对于含有两个或两个以上的单调增区间(或单调减区间)，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“”连接.【示例】设函数f(x)x(ex1)x2，求函数f(x)的单调增区间错因结论书写不正确，也就是说不能用符号“”连接，应为(，1)和(0，)实录f(x)ex1xexx(ex1)(x1)，令f(x)0得，x1或x0.所以函数f(x)的单调增区间为(，1)(0，)正解因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，即(ex1)(x1)0，得x1或x0.所以函数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)【试一试】 设函数f(x)ax33x2，(aR)，且x2是yf(x)的极值点，求函数g(x)exf(x)的单调区间尝试解答f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1，经验证，当a1时，x2是函数f(x)的极值点，所以g(x)ex(x33x2)，g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x)(x)ex.因为ex0，所以yg(x)的单调增区间是(，0)和(，)；单调减区间是(，)和(0，)电视墙也就是电视
