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1、第13讲 中位线学习目标1.探索并证明三角形中位线定理2.能利用中位线进行计算和证明考情分析中位线是有平行四边形性质推导得出的一个结论，应用它来证明线段的倍分关系和线段平行，比用全等和平行四边形来得更方便在中考试卷考查有两种题型，一是直接考查中位线的质量为位置关系，一般出现在填空或选择中，相对比较容易；二是以中位线为手段证明其它结论，一般出现在解答题中基础知识轻松学一、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线精讲：一个三角形有三条边，三条边上共有三个中点，每两个中点的连线段共有三条，即有三条中位线，这三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形如图13-1，连接三角形三边中点的DEF称为中
2、点三角形，其周长是ABC周长的一半，面积是ABC面积的四分之一图13-1图13-2图13-3二、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半符号语言：（如图13-2）DE是ABC的中位线，DEBC，且DEBC精讲：三角形中位线定理的证明：已知：如图13-2，在ABC中，D，E分别是AB，BC边的中点试说明：DEBC，DEBC理由：如图13-3，延长ED到点F，使得DFDE，连接BF易证：BDFADE，BFAE，FAED，DFDEBFCE，DE是ABC的中位线，AECE，BFCE四边形FBCE为平行四边形，EFBC，EFBC，DEBC，DEBC三、推论如图13-2，若
3、点D为AB的中点，E为AC上一点，DEBC，则点E为AC的中点精讲：这个结论证明思路如图13-3，过点B作BFAC，交ED延长线于点F可证明BDFADE，即BFAE再证明四边形BFEC为平行四边形，得BFCE，即可得到点E为AC的中点重难疑点轻松破一、中位线反映了线段间的平行和数量关系三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系；二是数量关系位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系例1：如图13-4，ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分ABC，交DE于点F，若BC6，则DF的长是（ ）A2 B3 C D4图13-4分析：由于D，E分别是BC
4、，AC的中点，所以DE是ABC的中位线，根据中位线定理可知DEAB，所以BFDABF； 又由于BF平分ABC，所以ABFCBF，就可证得BDF为等腰三角形，要求DF的长，只需求BD的长即可解：D，E分别是BC，AC的中点，BDBC3 DEAB，BFDABF BF平分ABC，ABFCBF， BFDCBF，DFBD3 所以本题选B点评：当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题本题是采用中位线来证明两直线平行变式练习1：如图13-5，D是ABC内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH
5、的周长是（ ）A7B9C10D11图13-5例2：如图13-6，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CEDC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF求证：AB2OF图13-6分析：点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明ABFECF，利用全等三角形对应边相等来证明解：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABCD，点O是AC的中点 CED
6、C，四边形ABEC是平行四边形 点F是BC的中点，OF是ABC的中位线，AB2OF点评：由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍时，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理变式练习2：已知：在如图13-7的ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN与DM相交于P，BN与CM相交于Q求证：PQ与MN互相平分图13-7二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线例3：如图13-8，已知M，N，P，Q分别为线段AB，BD，CD，AC的中点，四边形MN
7、PQ是平行四边形吗？为什么？ 图13-8分析：由于P，N分别是CD，BD的中点，考虑使用中位线定理，得到PNBC，运用同样的方法可证明QMBC，然后通过一组对边平行且相等，即可证明四边形MNPQ是平行四边形答：四边形MNPQ是平行四边形理由：连结BC.M，N，P，Q分别为线段AB，BD，CD，AC的中点， PN，QM分别为BCD和ABC的中位线 PNBC，QMBC PNQM四边形MNPQ是平行四边形点评：点P，点N分别是CD，BD的中点，很显然PN是BCD的中位线，所以考虑连接BC，将BCD补全，然后运用中位线定理解决问题变式练习3：如图13-9，在ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，M，
8、N是AC的三等分点，EM，FN的延长线相交于点D求证：四边形ABCD是平行四边形图13-9三、构造具有公共端点的线段，借用三角形中位线解决问题例4：如图13-10，四边形ABCD中，AB2，CD3，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）A1MN5 B1MN5CMNDMN图13-10分析：M，N虽然是AD，BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD，取BD的中点P，线段PM和PN可以看成ABD和BCD的中位线，利用中位线可求得PM，PN的长分别为1和1.5在PMN中利用三角形两边之和大于第三边可求得MN的范围答案：C点评：当图形中出现中点的时候，就可能应用中位线知
9、识解决问题，如果没有中位线，应考虑构造中位线解决问题变式练习4：如图13-11，D，E分别在AB，AC上，BDCE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q求证：APAQ图13-11四、课时作业轻松练A基础题组1如图13-12，顺次连结四边形 ABCD 四边的中点 E，F，G，H，则四边形 EFGH 的形状一定是 .图13-122如图13-13，在ABC中，CE平分ACB，AECE，延长AE交BC于点F，D是AB的中点，BC20，AC14，求DE的长图13-133如图13-14，ABC内有一点P，EF是ABC的中位线，MN是BCP的中位线求证：四边形MNFE是平行四边形图
10、13-14B中档题组4如图13-15，梯形ABCD中，ABCD，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点已知两底差是6，两腰和是12，则EFG的周长是（）A8B9C10D12图13-155如图13-16，ABC中，ABAC，AD平分BAC，CDAD，点E是BC的中点，若AB12，AC10，求DE的长图13-166如图13-17，RtABC中，ACB90，D为ABC外一点，使DACBAC，E为BD的中点，ABC50，求ACE的度数图13-17C挑战题组7在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC过AB，DC的中点E，F作直线，直线EF与直线AD，BC分别相交于点
11、M，N（1）如图13-18，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE（不需证明）（2）当点D旋转到图13-19或图13-20中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明 图13-18 图13-19 图13-20 中考试题初体验1（2013黑龙江绥化，14，3分）如图13-21，在平行四边形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为 （ ）A. 1B. C. D. 图13-212（2013山东滨州，17，4分）
12、在ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，且AB6，BC10，则OE_五、我的错题本参考答案变式练习1.D 解析：BDCD， BD4，CD3，根据勾股定理可知BC5，又E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，所以EHFGAD3，EFHGBC，所以四边形EFGH的周长是11.2.四边形ABCD是平行四边形，ABCD且ABCDM，N分别是AB，CD的中点，DNNCCD，BMAMAB.DNBM且DN=BM，DNAM且DNAM，NCBM且NCBM，四边形DMBN，ADNM，MNCB是平行四边形.PMBN，DMBN，PMDM，NQNBPMNQ且PMNQ，四边形PMQN是平
13、行四边形，PQ与MN互相平分3.连接BM，BN，BD，BD交AC于点O EM是ABN的中位线，EMBN 同理：FNBM，四边形BMDN是平行四边形，OBOD，OMON AMCN，OAOC，四边形ABCD是平行四边形4.找到BC的中点H，连接MH，NH M，H为BE，BC的中点，MHEC，且MHECN，H为CD，BC的中点，NHBD，且NHBDBDCE，MHNHHMNHNM；MHEC，HMNPQA，同理HNMQPAAPQ为等腰三角形，APAQ课堂作业1平行四边形 解析：HG，EF分别是ACD，ABC的中位线，可证HGAC，EFAC2解：在ACE和FCE中，ACEFCEAEEF，AC=CF,ADBDDE是ABF的中位线DEBF(BCCF) (BCAC)(2014)33EF是ABC的中位线，EFBCMN是BCP的中位线，MNBCEFMN，四边形MNFE是平行四边形4B 解析：EG,FG分别为BCD，ACD的中位线，分别等于BC和AD的一半，EF等于两底差的一半5延长CD交AB于点FAD平分BAC，CDAD，AFAC10，CDDF, DE=BF=(AB-AF)= (AB-AC)=1.6延长AD,BC交于F
