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1、含根式函数值域的几何求法函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题,其求解的方法很多,常见的解法有:观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中,利用数形结合来求函数的值域,尤其是含根式函数的值域,具有其独特的效果,它能够把满足题意的几何图形画出来,生动形象的直观图,提示和启发我们的解题思路,有时,图形式直接提供了我们寻求的答案,因此,几何法既可以使题意更加明确,又可以使运算得到简化。例1 求函数的最小值.解:由得:.令,消去x得:图1则点在的抛物线段上,又在直线上,如图1,易知,当直线与抛物线相切时,y取最大值,取y最小值。联立方程组,消去u整
2、理得:,由=0,即:解得:. 原函数的最小值为.评注:本题可以利用代数换元法,将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题,其解题过程中运算量并不大,而且不难接受理解。因此,本题利用构造直线与抛物线进行求解,并没有真正体现出几何解法的优越性。例2 求函数的值域.分析:本题不能用换元法进行求解,因此,我们也来尝试利用几何解法。图2解:由 解得:.令,消去x得:则点在的园弧上,又在直线上,如图2,显然又 即为原函数所求的值域。例3 求函数的最小值.分析:当我们把化为:y时,容易联想到两点间距离。解:图3设P(x , 0),A(0, 2),B(3, 1),则问题转化为在x轴上找一点P,
3、使得P到A、B两点的距离之和最小。如图3,易求得点A关于x轴的对称点A/ 的坐标为(0, 2),则:即为最小. .评注:本题可用判别式法以及构造复数由模的重要不等式进行求解,但是判别式法计算量很大,不易求解,而复数法实质上就是上述解法的另一种形式,可见,利用数形结合求解含根式函数的值域,不但简化了解题过程,而且在思维上提高了认识,对培养学生的创造力具有重要的意义。例4 求函数的值域.解:由得:.图4u我们可以看到上式的右边表示过函数上自变量x相差2的任意两点的直线的斜率,如图4, B,C两点的坐标分别为 即:. 原函数的值域为.例5 求函数的最大值.解:由已知函数得:图5上式可看作抛物线上的点
4、P到点A(3,2),B(0,1)距离之差的最大值,如图5.由可知:当点P在AB的延长线上的P/ 处时,y取最大值. .例6 求函数的值域.解:令,消去x整理得:,则,图6其中是半园A:()上点到直线l:的距离,如图6,从圆心A作ACl于C交半园A于E,BDl于D,则 , 即为所求函数的值域. 例7 求函数的最大值.分析:把原函数化为时,我们就容易联想到两点的斜率公式。解:由解得:.令,消去x整理得:,则.其中可看作是椭圆弧上点P与点Q(2,0)连线的斜率k,如图7易知:当直线过点Q且与椭圆弧相切时,其斜率取最大值。联立方程组,消去v化简整理得:图7,由=0,即:解得:或(舍去). 原函数的最大值为.欢迎访问 http:/