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1、 偏微分方程反问题的数值解法偏微分方程反问题的数值解法 教案教案 哈尔滨工业大学理学院数学系哈尔滨工业大学理学院数学系 陈勇陈勇 2007.8 参考书目：不适定问题的正则化方法及应用，刘继军著，科学出版社，2005.9 反问题的数值解法，肖庭延，于慎根，王彦飞著，科学出版社，2003.9 反演问题的计算方法及其应用，王彦飞著，高等教育出版社，2007.1 Inverse problems for partial differential equations, Victor Isakov, Springer, 1998 An introduction to the mathematical th
2、eory of inverse problems, Andreas Kirsch, Springer, 1996 - - 1 第一章第一章 绪论绪论 近二十多年以来，数学物理反问题已经成为应用数学中成长和发展最快的领域之一。之 所以如此，在很大程度上是受其他学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求所驱动 的。在实践中，许多反问题可归结为第一类算子方程的求解问题；而反问题的某些求解方法 如广义脉冲谱方法（GPST） ，最佳摄动法等，也常常把第一类算子方程的求解过程，作为方法 本身的一个子过程，因此，本章将以第一类算子方程为数学框架来描述和研究反问题。 1.1 反问题的若干例子反问题的若干例子
3、 背景：背景：1923，Hadamard,线性偏微分方程的 Cauchy 问题时开始研究反问题的不适定性。 20 世纪 40 年代，Tikhonov，提出了变分正则化方法， Solutions of ill-posed problems,(Tikhonov,1977,中译本不适定问题的解法 （王秉忱，1979，地质出版社）)， Landweber 和 Fridman，迭代正则化方法。Morozov 和 Groetsch 把不适定问题的正则化放在抽 象泛函空间进行完整描述。国内：冯康等。 例例 1.1 加减法 互为逆运算，由此引发的填空问题。 例例 1.2 积分和微分 互为逆运算，但并不是一一对
4、应的，需要附加条件。 一般性所考虑问题的思维方式： “由因及果” ，也就是人们习惯于根据原因去研究相应的 结果这样的一种因果关系思维方式。 原因=结果 输入+系统=输出 因果关系是辩证的，相对的，都不是绝对的。如果我们仅仅知道结果，也就是输出，需 要去追寻原因的时候，就需要一种逆向思维方式，即“由果索因” 。 原因=结果 +系统=输出 也就是说这两种思维方式是相对的，如果我们把“由因及果”所考虑的问题称为正问题， 那么“由果索因”所考虑的问题就是反问题。 例例 1.3 多项式函数 正问题正问题：给定多项式 1 110 ( ) nn nnn P xc xcxc xc =+?，求在1n+个已知点
5、- - 2 01 , n x xx?处的函数值 01 , n yyy?。 反问题反问题：Lagrange 插值问题：给定1n+组值( ,),0,1, ii x yin=?，要求确定n次多项式 ( ) n P x的系数 i c，使得其满足插值条件：( ),0,1, nii P xy in=?。 例子可以看出，反问题是相对于正问题而言的，在这个例子中，如果我们把 Lagrange 插 值问题称为正问题，那么求多项式函数值的问题就是反问题了。 例例 1.4 逆热传导问题 一维热传导方程的初值问题 2 21 2 1 0 ( , ),0 ( ), t uu af x txR t tx uxxR = =+
6、 = 其中，a为热传导系数，利用 Fourier 变换及其逆变换可得 22 22 0 1()1( , )() ( , )( )expexp 4422 t xfx u x tdd d a ta tatatt + =+ （1）若( , )0f x t ，则有 2 2 1() ( , )( )exp 42 x u x td a tat + = 正问题正问题：已知( )x和a通过上式求温度分布( , )u x t。 反问题反问题： 已知某一时刻 T 时的温度分布( , ):( ) T u x Tux=和a， 求初始时刻温度分布( )x， 即求解下述第一类 Fredholm 积分方程 2 2 1() (
7、 )exp( ) 42 T x dux a TaT + = （2）若( )0x，但( , )( )( ) D f x tz tx=，则有 2 2 0 1( )() ( , )exp 4()2 t zx u x td d a tat + = 其中( ) D x为示性函数，D 为 1 R中的有届区域。 正问题正问题：已知( )z t，利用上式求未来任意时刻的温度分布( , )u x t 反问题反问题：已知(0, )( )utg t=，求( )z t，即第一类 Volterra 积分方程 - - 3 0 () ( )( ),0 t H tzdg tt= 的解，其中 2 2 1 ( )exp 42 D
8、 H td a tat = 例例 1.5 Abel 积分方程：物理中的反问题 设有一个质量为 m 的质点在重力 mg 的作用下，从铅直平面中高度为0h 处的点 1 p， 沿着某一曲线无摩擦地滑到高度为 h=0 处的点 0 p。 正问题正问题：当曲线给定后，决定从该质点 1 p滑到 0 p所需要的时间 T. 反问题反问题：假定已通过测量得出高度 h 和时间的关系：( )TT h=，要求决定该曲线的形状。 不妨设该曲线的表达式为( )xy=，其上任一点的坐标为( ( ), )yy。根据能量守恒定律 2 1 2 EUmvmgymgh+=+= 可知速度 v 满足： 2 () ds vg hy dt =
9、 于是，有任一点 1 p滑到 0 p所需要的总时间为： 1 0 2 0 1( ) ( ),0 2 () ph p dsy TT hdyh vg hy + = 令 2 ( )1( )yy= +，且设( ):( ) 2f hT hg=为已知，则反问题就是由下面的 Abel 方程： 0 ( ) ( ),0 h y dyf hh hy = 来求( )y。 Abel 应用：地震学，利用地震波的传播时间来确定地壳运动的速度。等离子物理，用光谱法 测量和计算温度，电子密度，粒子密度等。 例例 1.6 CT 技术中的反问题 背景：Radon，1917，二维、三维的物体可由他的无限多个投影的逆变换实现重构。美国
10、 工程师 A.M.Cormack 试图帮助医生不经手术了解人体内有关器官大小和组织结构变异的情况。 英国工程师 G.N.Hounsfield 在 1972 年成功研制出头颅 X 射线断层摄影装置，并与 1979 年与 - - 4 A.M.Cormack 共同获得诺贝尔医学奖 G.N.Hounsfield 寄语：如果你考试没有通过，不用太担心，只要你感到你的确理解了所学的 课程；将自己常用的推理方法充分使用后，通过对身边发生的事物基本要素的掌握，你就会 对你所能达到的理解能力和所掌握的知识感到吃惊。 基本原理：不损伤物体本身结构的情况下，发射各种可通过物体的讯号（各种射线，波， 粒子，电磁场等）
11、 ，然后通过对从体外接收到的信号。利用数学方法和计算机进行加工和处理， 获得物体内部结构的信息，形成物体内部结构的三维透视图像，也称为图像重建或图像恢复。 考虑二维情况，通过人体的某一平面用( , )x y表示点( , )x y的密度，而用 L 表示该平面 内的任意直线，假定发射一束 X 光沿直线 L 穿过人体，并测量 X 光闯过人体后的强度变化。 用参数( , )s来刻画直线 L， 其中,0,sR。 射线 , s L 可表示为, ii seiueC uR +， 这里 C 代表复平面 2 R。强度 I 的减弱可近似地表示为：dIIdu= ，其中为常数，沿直 线 L 积分： 0 ln ( )()
12、 u ii u I useiuedu = + 若假定密度( , )x y具有紧支性，则强度损失由下式给出： ln ( )() ii Iseiuedu + = + 一般来说，强度的减弱可以通过计算线积分 ()( , ):(),0, ii RsseiuedusR + = + 上式中的R称为的 Radon 变换。 - - 5 正问题正问题：对于给定的，计算其 Radon 变换R。 反问题反问题：由给定的 Radon 变换R（所有线积分的测量值）来决定密度函数。 例例 1.7 地震勘探中的反问题 假设地层为水平层状介质，考虑如下的一维波动方程 2 2 ( )( ( )( , ), uu xxf x t
13、 txx =+ 其中( , )u x t为质点振动的位移，( )x为介质的密度，( ) x为 Lame 系数，( , )f x t为震源函 数。 ( ) ( ) ( ) x v x x =是介质速度。引入一个变换 0 ( ) ( ) x x zdx x =，在这个变换下，原来方程 化为： 2 2 ( )( ( )( , ), uu zzf z t tzz =+ 这里( )( ) ( )zzz=称为声波阻抗。 正问题正问题：在给定初始条件 0 0 0 t t u u t = = = 和边界条件 0 (0)0 z u z = = 的情况下，由给 定的声波阻抗( ) z来求合成地震记录(0, )ut
14、。 反问题反问题：在补充了附加条件(0, )( )utt=的情况下，由地震记录( ) t来确定底层介质声 波阻抗( ) z的值。 上述例子，均可用一个抽象的算子方程来描述：设有一个数学模型描述了一个物理过程， 记 x 为该数学模型的未知特性，K 是一个算子，表示某一系统，它把 x 作用成了 y,实际观测结 果为 y,该过程可以简单的写成： Kxy= 其中，算子 K 和右端项是已知量。近似的利用已知 K 和 y 来求 x。当算子 K 是线性算子时， 称为线性反问题，否则称为非线性反问题。当 K 为微分方程算子时，称为微分方程反问题。 ? 通常称一个先前被研究过的相对充分或完备的问题为正问题，而称
15、与此相对应的另 一个问题为反问题。 ? 正问题是线性的，对应的反问题也可能是非线性的。 - - 6 反问题的严格定义很难给出。因此，反问题的定义似乎有点“只能意会，不能言传”的味 道。美国斯坦福大学的 J.B.Keller（1976） ：若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或 包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题（direct problem） ，另 一个为反问题（inverse problem） 。 C.W.Groetsch：反问题是很难定义的，但是几乎每一个数学家都能马上判断出一个问题是 正问题还是反问题。 苏联学者 Levrentiev：“偏微分方程的反问题是指从偏微分方程解的某些泛函去确定偏微 分方程的系数或右端项”。 T.Robinson 的观点： “Usually in mathematics you have an equation and you want to find a solution. Here you we
