《中国科学院 自动化研究所(北京) 考博真题 数学 2016》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中国科学院 自动化研究所(北京) 考博真题 数学 2016（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 中国科学院自动化研究所 2016 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷 科目名称：数学 中国科学院自动化研究所 2016 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷 科目名称：数学 考生须知： 考生须知： 1.本试卷满分为 100 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。 本试卷可能用到的常数： 分别以 2 , ( ),( ),( ),( ) nnm n ZtF表示标准正态分布， 卡方分布，student-t 分布和 F 分布的上分位数，则 (0.005)3.29Z，(0.025)1.96Z，(0.05)1.65Z， 24 0.02
2、52.06t， 24 0.051.71t, 3,12(0.05) 3.49F， 4,12(0.05) 3.26F， 5,12(0.05) 3.11F, 3,20(0.05) 3.10F， 4,20(0.05) 2.87F, 5,20(0.05) 2.71F, 4,24 0.0752. 8F。 一 （14 分）求微分方程组 1 13 2 123 3 13 38 326 25 dx xx dt dx xxx dt dx xx dt 满足初始条件 122 (0)1,(0)0,(0)1xxx 的解。 科目名称：数学 第 1 页 共 3 页 二 （12 分）已知矩阵 121 022 121 211 A
3、试求矩阵A的满秩分解：AFG ，其中，F是4r 矩阵，G是3r 矩阵， ( )rrank A。 三 （12 分）试求下面矩阵A 的 MoorePenrose 广义逆阵A： 2042 0036 21144 iii A i ， 其中 1i 。 四 （12 分）设 n n A C，是矩阵 , i j Aa 的特征值，试证明下列结论： 1. m A ； 2. 1 Re( ) 2 H m AA 3. 1 Im( ) 2 H m AA 。 其中 H A 是矩阵A的共轭转置，Re( ), Im( )分别是复数的实部和虚部；矩阵范 数 m A 定义为： , , max i j m i j Ana 五.填空题（
4、本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 1设第一只盒子装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有 2 只蓝 球，3 只绿球，4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。已知至少有一只 蓝球，则有一只蓝球一只白球的概率为 _ 。 2. 设),3( 2 NX,且1 . 00XP，则63XP _ 。 3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 (6),02,24; ( , ) 0, kxyxy f x y 其他 则1,3)P XY _ 科目名称：数学 第 2 页 共3页 4. 假设一工厂有三部机器，三部机器的产量占总产量的比例分別为50%、30%以 及20%，且已知三部机器均
5、会产生瑕疵品，第一部机器的产量中有1%为瑕疵品， 第二部机器的产量中有2%为瑕疵品、第三部机器的产量中有4%为瑕疵品。若已 知抽中之产品为瑕疵品，其来自第二部机器的可能性为 _ 。 5. 设 1234 ,XXXX是来自正态总体X0,4N的样本，则当a _ 时 22 1234 22Ya XXa XX 2 2 。 六.(本题 10 分)设随机变量(,)X Y的联合概率密度为 1,01 ( , ) 0, yxx f x y otherwise 试求： 1 () 2 X Y fx y 。 七.(每小题 5 分，共 10 分)设总体X的密度函数为 1 ,0 ( , ) 0 , x ex f x 其它 ，其中 0未知， n XXX, 21 是从该总体中抽取的一个样本。 1.试求的极大似然估计。 2.此极大似然估计偏倚是多少？ 八.(本题 10 分)保险公司新增一个保险品种，每份保单缴纳保费 100 元，若发生 赔付，赔付金额为 2 万元。根据统计,这类保险赔付概率为 0.0005。这个新保险品 种预计需投入 120 万元的广告宣传费用。在忽略其他费用的情况下, 一年内至少 需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过 80 万元的概率大于 95%? 科目名称：数学 第 3 页 共3页
