割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、 来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体中，分别是棱的中点，求证：平面把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割． 证明：连结，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、 来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体中，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 解法一（割）：如图3，过点作于，连结，这样就把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱． 于是所求几何体的体积为：．解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．于是所求几何体的体积为．三、 来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3．于是所求几何体的体积为．解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是．例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。
求此三棱锥的体积提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为等边三角形，边长为 ，SA^SB取SA中点E，AB中点F，连接AE、BE、EF可证得：SC ^平面ABE利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱锥体积法二：取AB中点D，连接SD，CD易得△ABC为等腰直角三角形，ÐACB=90o则有SD⊥AB，CD⊥AB又SA=SB=SC，∴S在底面的射影为底面的外心，即点D，∴SD⊥平面ABC∴由VS-ABC= S△ABC•SD得三棱锥体积例1．如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度为h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径R2RhV1V2V2=V1+V球。