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1、三角形三心的奥祕,内心,外心,重心,3/17/2019,1,商人想设一座加油站，距离附近的学校、游乐园、医院都一样近，请问聪明的商人，应该将加油站设在哪里呢?,学校,游乐园,医院,解答:设在外心处,加油站,3/17/2019,1,外心,1.外心的定义:,A,B,C,A,B,C,A,B,C,(绿)，,(蓝)，,(红)，,三边中垂线交点 即为“外心”。,o,三角形三边中垂线的交点称为 外心，常用字母O表示。,(绿)，,3/17/2019,1,2.外心的位置,锐角三角形 (在内部),钝角三角形 (在外部),直角三角形 (在斜边中点),(1)依三角形角度类型的区别而有不同的位置。,3/17/2019,
2、1,锐角ABE的外心(圆O)在三角形的内部。 直角ABD的外心(圆O)在三角形的斜边中点。 钝角ABC的外心(圆O)在三角形的外部。,(2)呈现在同一个圆中,3/17/2019,1,(1)外心到三顶点等距离。 (2)若以外心为圆心，外心到三顶点的距离为半径， 可以画出一个外接圆。 (3)称此点为“外心”，是因此点可画出三角形的外接圆。 (4)任意三角形皆可找到其外心与外接圆，且为唯一。 (5)三角形ABC称为圆O的圆内接三角形。,3.三角形的外心与外接圆,如图 (1)线段OA = 线段OB = 线段OC (2)圆O为ABC的外接圆 (3)O点为锐角ABC的外心； ABC为圆O的圆内接三角形,A
3、,B,C,O,O,O,3/17/2019,1,中垂线性质: (1)中垂线上任一点到此线段的两端点等距离。 (2)若有一点到某线段两端点的距离相等，则此 点会在该线段的中垂线上。,(可用中垂线性质证明),4.外心重要性质:外心到三顶点等距离。,P为中垂线上任一点,3/17/2019,1,5.三角形的外接圆与外心角度,A,B,C,O,A,B,C,O,D,(1)若A为锐角， BOC 2A,(2)若A为钝角， BOC 360 2A,O,3/17/2019,1,(1)三角形三边中垂线的交点称为外心(O)。 (2)外心到三顶点等距。 (以外心为圆心，可画出该三角形的外接圆) (3)直角三角形的外心在斜边中
4、点上， 直角三角形的外接圆半径R=1/2斜边长 (4)直角三角形中，若有一锐角是30 ，则它所 对的边是斜边之半。,6.外心常考重点:,3/17/2019,1,按我(用GGB找外心),7.动手摺纸找外心,步骤1:摺出线段AB的中垂线。 作法:将B点翻摺至A点， 压平后再展开， 产生摺痕如图示。,3/17/2019,1,步骤2:摺出线段BC的中垂线。,作法 : 将B点翻摺至C点， 压平后再展开， 产生摺痕如图示。,3/17/2019,1,步骤3:摺出线段CA的中垂线。,作法 : 将C点翻摺至A点， 压平后再展开， 产生摺痕如图示。,三条中垂线的交点即外心O,3/17/2019,1,步骤4 : 比
5、较OA，OB，OC三线段长度是否真的相同。,3/17/2019,1,三角形三个内角角平分线的交点称为三角形的内心，常用字母I表示。,A,B,C,A,B,C,A,B,C,1.内心的定义:,内心,三内角平分线交点 即为“内心”。,I,3/17/2019,1,2.内心的位置:,任意三角形的内心 均在三角形的内部。,锐角三角形 内心,直角三角形 内心,钝角三角形 内心,3/17/2019,1,(1)内心到三边等距离。 (2)若以内心为圆心，内心到三边的距离为半径， 可以画出一个内切圆。 (3)称为“内心”，是因此点可画出三角形的内切圆。 (4)任意一个三角形，均可找到其内心及内切圆，且为 唯一。,3.
6、三角形的内心与内切圆:,3/17/2019,1,(可用角平分线性质证明),4.内心重要性质:内心到三边等距离。,角平分线性质: (1)角平分在线的任一点到此角的两边等距离。 (2)若有一点到某角的两边等距离，则此点会在 该角的角平分在线。,3/17/2019,1,6.内心常考重点:,(1)三角形三内角平分线的交点称为内心(I) 。 (2)内心到三角形的三边等距 。 (3)ABC面积1/2 ABC周长 内切圆半径 即A=1/2r (设为ABC周长，r为内切圆半径) (4)直角三角形的内切圆半径r=1/2(两股和斜边)。 (5),3/17/2019,1,按我(用GGB找内心),7.动手摺纸找内心,
7、步骤 1 : 摺出角A的角平分线。 (将AC边摺叠到与AB边重合),步骤 2 : 摺出角B的角平分线。 (将BC边摺叠到与BA边重合),最后摊开如图示,3/17/2019,1,步骤3:摺出角C的角平分线。 (将CB边摺叠到与CA边重合),摊开，并将三条角平分线 的交点命名为I点,3/17/2019,1,步骤4:从I点做出与三边垂直的虚线， 比较这三条虚线是否真的等长。,3/17/2019,1,小灰鼠买了一块奶酪，想分享给弟弟(小蓝鼠)，妹妹(小黄鼠)一起吃，牠该如何切割这块奶酪，使得大家所分配到的大小都一样呢?,解答:沿着三中线切割成6块，每人拿2块。,3/17/2019,1,重心,三角形三条
8、中线的交点称为重心 ，常用字母G表示。,1.重心的定义:,2.重心的位置:,任何三角形的重心均在三角形的内部。,锐角 三角形,直角 三角形,钝角 三角形,3/17/2019,1,(1)无法由“重心”画出圆，与外心可画出外接圆， 内心可画出内切圆不同。 (2)称为“重心”，是因为该点为此三角形的质量 中心，若用手指顶在重心位置，三角形会保持 平衡，不会倾斜。 (3)重心到顶点的距离为重心到对边中点的两倍。,3.重心重要特性:,3/17/2019,1,按我(用GGB找重心),步骤1:摺出BC边的中线 (顶点A与BC边中点的连线)。,4.动手摺纸找重心,3/17/2019,1,步骤2:摺出AC边的中
9、线。 (顶点B与AC边中点的连线),三中线交点即为重心G,步骤3:摺出AB边的中线 (顶点C与AB边中点的连线),3/17/2019,1,A,B,C,G,D,E,F,三中线将原 分割成6块等面积 GAF面积GAE面积 GBF面积GBD面积 GCD面积GCE面积。,重心与三顶点的连线， 将原分割成3块等面积 GAB面积GBC面积GAC面积,A,B,C,G,重心的三块积,重心的六块积,3/17/2019,1,5.重心常考重点:,(1)三角形三中线的交点称为重心( G )。 (2)重心到一顶点的距离，等于重心到其对边 中点之距离的两倍。 (3)重心与三顶点的连线，把原三角形的面积三 等分。 (4)三中线会将原三角形的面积六等分。,3/17/2019,1,直角三角形的外心在斜边的中点，且,特殊三角形的三心,3/17/2019,1,等腰三角形的外心、内心、重心都在同一条 直线（底边的中垂线）上。,3/17/2019,1,正三角形的外心、内心、重心是同一点， 且其外接圆半径是内切圆半径的2倍。,
