求解微分方程

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1、第七章 微分方程, 1 微分方程的基本概念,例 一曲线通过点(1, 2)，且曲线上任意点切线的斜率均等于切点横坐标的2倍 ，求这曲线的方程。,例 列车在平直线路上以 20m /s 的速度行驶，制动时列车获得加速度 0.4m /s2 。问开始制动到停止需多少时间？这段时间列车又走了多远？,微分方程的定义,定义 含有未知函数的导数(或微分、偏导数)的函数 方程叫做微分方程，未知函数是一元函数叫做常微分方程，未知函数是多元函数叫做偏微分方程；其中出现的未知函数的导数(或微分、偏导数)的最高阶数叫做该微分方程的阶。,n阶微分方程的一般形式：,(2) n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称为它的通解

2、；通解中确定了任意常数的解称为特解。,微分方程的解,定义 (1)对于微分方程 设函数 y (x)在区间I 上有n阶连续导数，,如果在区间I 上满足,则称y (x)是方程在区间I 上的一个解，其图形称 为积分曲线。,说明： (1) n阶微分方程的解中最多只能含有n个独立的任意常数。,(2) 微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程,不包含特解 y 0。,(3) y(x0)= y0， y (x0)= y1 ， 称为初始条件(或初值)。带有初始条件的微分方程问题称为初值问题。,微分方程解决实际问题的步骤,(1)分析问题，建立微分方程并提出定解条件。,(2)求微分方程的通解。,(3)由定解条件定出任

3、意常数，即求出特解。,(4)讨论所得解的性质和意义。,例 证明 x C1coskt C2sinkt 是方程,的通解(k 0),并求满足初始条件,的特解,求曲线所满足的微分方程 .,例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,作业,(P298)：3(2)，5(2)，6。, 2 可分离变量的微分方程,一阶微分方程的一般形式： F(x, y, y) 0,或 y f(x, y),或写成对称形式： P(x, y)dx Q(x, y)dy。,一个一阶微分方程称

4、为可分离变量的微分方程， 如果能把它写成形式 g(y)dy f(x)dx。,若G(y)、F(x)分别是g(y)、 f(x)的原函数，得,例 求微分方程 的通解。,例 解方程,例 已知铀的衰变速度与含量M成正比(比例系数)。 若t 0时铀的含量为M0，求时刻t 时铀的含量M(t)。,解 由题设条件得微分方程,由条件 M(0) M0 得 C M0，所以,铀的衰变规律,例. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,练习,(P304)：1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。,作业, 3 齐次方程,在一阶微分方程 y f(x

5、, y) 中，如果 f(x, y)可以化为,则该方程称为齐次方程。 如何求解？,例 解方程,例. 解微分方程,例. 解微分方程,作业,P309：1(1)(6)，2(3),3；,4 一阶线性微分方程,本节讨论一阶线性微分方程,(1),(2),叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。,Q(x) 0时称为一阶齐次线性微分方程。,分离变量法,这里 表示P(x)的任一原函数。,(3),一阶齐次线性方程(2)的解法,得方程(2)的通解,注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。,常数变易法，令,一阶非齐次线性方程(1)的解法,用常数变易法解非齐次方程的步骤：,1. 求出相应的齐次方程的通解；,2. 将

6、通解中的任意常数C 变为函数C(x)，然后代入 非齐次方程求出C(x)。,3.非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与 方程的任意一个特解之和。,例 解方程,习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7 (3) 。,作业,5 可降阶的 高阶微分方程,三种可降阶的高阶微分方程,y(n) f(x) 型,积分一次,再积分一次,共积分n次，便得到含n个任意常数的通解：,可逐次积分求得通解,例 求 y e2x cosx 的通解。,解,y f(x, y) 型,令 y p ，方程变为 p f(x, p)， 设其通解为 p (x, C1) ，,不显含y,即 y(x, C1) ，,说明：对于方程 y(n)

7、f(x, y(n1)，可令y(n1) p 而化为 一阶微分方程 p f(x, p)。,例 求微分方程 (1x2)y 2xy 的通解及满足 初始条件 y(0) 1, y(0) 3 的特解。,y x3 3x 1。,例 解方程,这时仍令 y p 作为新未知函数，,方程变为 ，设其通解为 p ( y, C1)，则,y f(y, y)型,不显含x,例 解方程,例. 解初值问题,习题(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)， 3,作业,6 高阶线性微分方程,一、二阶线性微分方程举例,例1 求弹簧振子的运动规律x(t)。,x,自由振动的微分方程,强迫振动的微分方程,这就是串联电路的振荡方程

8、，其中,例2 设由电阻R、电感L、电容C和电源E Emsint 串联组成的电路中，电容C两极板间的电压为uC ， 则有,二、函数的线性相关与线性无关,定义 设 y1, y2 , , yn 是定义在区间I上的n个函数， 如果存在 n 个不全为零的常数 k1, k2 , kn ， 使在 I上,就称这n个函数在 I 上线性相关， 否则称为线性无关。,例如：1 , cos2x , sin2x 在( )线性相关； 1 , x , x2 在任何区间上线性无关。,说明：1) 线性相关 其中至少有一个函数可由其 它函数线性表出；,2) y1, y2 , yn 线性无关,若 k1 y1 k2 y2 kn yn

9、0, 则 k1 k2 kn 0。,3) y1与y2 线性相关 常数。, n 阶线性微分方程的一般形式：,证 直接将y C1 y1 C2 y2 代入(2)得：,定理 如果 y1 , y2 是齐次方程的两个解，那么,y C1 y1 C2 y2也是解，其中C1 , C2是任意常数。,三、齐次线性方程解的结构,定理 设 y1 , y2 是齐次方程(2)的两个线性无关的 特解(称为(2)的一个基本解组)，则 y C1 y1 C2 y2 (C1 , C2是任意常数)是它的通解， 且此通解含有全部解。,例 y1 x , y2 e x 是齐次线性方程,的一个基本解组，故其通解是,定理(解的叠加原理) 设y1(

10、x) , y2(x)分别是方程,的解，则 y y1(x) y2(x) 是如下方程的解：,证,非齐次线性方程解的结构,定理 设 y*(x)是非齐次方程(1)的一个特解，Y(x)是对 应的齐次方程(2)的通解，则 y Y(x) y*(x) 是方程(1)的通解，且此通解含有全部解。,证 由定理3，y Y(x) y*(x) C1 y1 C2 y2 y*(x)是(1)的 解，又它含有两个独立的任意常数，故是通解。,设 y0(x) 是(1)的任一解，则 y0(x) y*(x) 是齐次方程(2),的解，故存在常数C10与C20 ，使得,y0(x) y*(x) C10 y1 C20 y2 ,于是 y0(x)

11、C10 y1 C20 y2 y*(x) 。,例 y x2 是方程,的一个特解，故其通解是,n 阶线性微分方程,上面关于二阶线性方程的结论可推广到 n 阶线性方程,1. 线性微分方程解的叠加原理： 设 y1(x) , y2(x) 分别是方程L y f1(x)与L y f2(x)的解，则y y1(x) y2(x) 是方程 L y f1(x) f2(x) 的解。,L y f(x) , 其中,2. 齐次线性方程解的结构：设 y1, y2 , , yn 是齐次线 性方程 L y0 的n 个线性无关的解(称为它的一个基本解组)，则 y C1 y1 C2 y2 Cn yn(C1 , C2 , , Cn是任意

12、常数)是它的通解，且此通解含有全部解。,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),(89 考研 ),解:,故原方程通解为,非齐次线性方程解的结构： 设 y*(x) 是非齐次方程 Ly f(x)的特解，Y(x)是对应的齐次方程Ly 0的通解，则 y Y(x) y*(x) 是非齐次方程 Ly f(x)的通解，且此通解含有全部解。,作业,习题(P331)：1(3)(7)，3，4(1),7 常系数齐 次线性微分方程,一、特征方程与特征根,二阶常系数齐次线性方程 y p y q y 0

13、 .,定义 称代数方程 r2 pr q 0 . 为微分方程的特征方程， 它的根叫做微分方程的特征根。,1) p24q 0 , r1 , r2 是两个不相等的实根，则,是方程(1)的两个线性无关的解，,方程的通解是,微分方程的通解,取 u x , 得 ，这时方程(1)的通解为：,代入得：,2) p24q 0 , 得到方程的一个解,设另一个线性无关的解,得到两个线性无关的实解，所以通解是：,根据解的叠加原理,3) p24q 0 , 得到一对共轭复根 r1 i, r2 i,这样得到两个线性无关的复数形式的解, r1 , r2是不等二实根，, r1 , r2是相等二实根，,其中, r1 , r2是一对

14、共轭复根，,求二阶常系数齐次线性方程(1)的通解的步骤如下：,1)写出特征方程 r2 pr q 0；,2)求出特征方程的两个根 r1 , r2；,3)根据 r1 , r2 的不同情况写出通解：,例 求 y 2y 3y 0 的通解。,例 求方程 y 2y 5y 0 的通解。,n 阶常系数齐次线性方程,求解步骤如下：,1) 写出特征方程,2) 求出特征方程的 n 个根(特征根)，,3) 根据特征根写出 n 个线性无关的解(基本解组)，,4) 写出微分方程的通解。,一对单共轭复根 i ：, k 重实根 r ：,一对 k 重共轭复根 i ：,单实根 r ：,说明：n 次方程共有 n 个根，对应每个特征

15、根可写出一个基本解组中的解。方法如下：,特征根是 r1 r2 0 , r3, 4 1 2i ,因此微分方程的通解为：,y C1+C2x +ex(C3cos2x+C4sin2x) .,例 求方程 的通解。,解 特征方程,特征根是 r1 r2 1 , r3, 4 ,微分方程的通解为：,例 解方程,解 特征方程 r 4 2r3 3r2 4r 2 0,r 4 2r3 3r2 4r 2 (r 1)(r3 r2 2r 2 ),(r 1)2(r2 2)。,解整系数高次代数方程,一般用分解因式法和试根法，应注意以下特殊情形：,(1)系数之和为零时，有根 x 1；,(2)奇偶项系数之和相等时，有根 x 1；,(3)如果方程有有理根,则 p 是a0 的因数，q 是an 的因数。,习题