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1、 一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是类型：判断一元二次方程的步骤1. 把方程化成一般形式2. 最高次数=23. 最高次项的系数0例1：1.下列方程时一元二次方程的是 ；x21=y （x+2）（x+1）=x2 6x2=5 +3x +y=0 ； x+y+1=0 ； ； ；3y22y=1；2x25xy+3y2=0； 2x2+3=3； x2+5x=0； x2+4xy10=0； x+2x=3； 2xx3=2x2+1； 1x+2x=x6； 2x2+1=12x； abx2+a+bx+1=0； x
2、233x+4=0； px2+qx+m=0（p0）2关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是_3关于x的一元二次方程ax23x+2=0中，a的取值范围是_4当m=_时，方程（m21）x2mx+5=0不是一元二次方程5若关于x的方程（k1）x24x5=0是一元二次方程，则k的取值范围是_例2：当 时，方程为一元二次方程6若是关于x的一元二次方程，则a=_7若关于x的方程（m1）mx3=0是一元二次方程，则m=_8当k=_时，（k1）（2k1）x3=0是关于x的一元二次方程9方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_10关于x的方程（m2）x|m
3、|mx+1=0是一元二次方程，则m=_知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项；指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项，并不是没有，而是例3： 把方程（1）（2）xx2=4x23x（3）x+82=4x+2x12（4）x23x+12=x12化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_2.一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是 3.一元二次方程3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为
4、。 4一元二次方程3+2-5=0的二次项系数、一次项系数和常数项依次为_5.把一元二次方程2（-1）=（-3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是_6方程2=3（-2）化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是_7.一元二次方程2-b=1的常数项为_8下面的一元二次方程中，常数项为5的方程是（）A5-3+1=0 B3+5+1=0 C3-+5=0 D3-=5 9一元二次方程-3+5x=7的二次项系数是_10若关于x的一元二次方程+5+m2-1=0的常数项为0，则m等于_11. 关于x的一元二次方程x2+（2a-1）x+5-a=ax+1的一次项系数为4，则常数项_A.1 B.-
5、1 C.0 D. 5知识点三：一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根代入法检验一个数是否是方程的根代入方程的根，可以求方程中的未知字母系数或字母常数的值1：下列哪些数是方程的根 ，2：关于的一元二次方程的一个根是，则= 3. 关于 x 的一元二次方程 k3x2+x+k29=0 有一个根是 0，则 k 的值是( ) A. 3B. 3C. 3或3D. 04：已知方程有一个根是，则的值为 5：如果是方程的一个根，那么常数是多少？求出这个方程的其他根6. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有一根为 1，则 a，b，c 满足的关系式
6、是 7. 如果 x=2 是方程 x2kx+2=0 的解，则 k 的值是 8. 已知关于 x 的一元二次方程 2x23kx+4=0 的一个根是 1，则 k= 9. 已知 x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根，则 m2+2mn+n2 的值为 10. 若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+5=0a0 的解是 x=1，则 2013ab 的值是( ) A. 2018B. 2008C. 2014D. 2012 11. 如果 2 是一元二次方程 x2=c 的一个根，那么常数 c 是( )12.一元二次方程a+bx +c=0（a0）有一个根为1，则a+b +c= 。知识点四：根据实际问题列
7、一元二次方程根据下列问题，列方程，并化成一般式例1：有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角应切去多大的正方形例2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（1） 个完全相同的正方形的面积之和是，求正方形的边长（2） 一个矩形的长比宽多，面积是，求矩形的长（3） 把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长（4） 一个圆的面积是，求半径（5） 一个直角
8、三角形的两条直角边相差，面积是，求较长的直角边的长（6） 有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？（7） 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？1. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，。注意：若b0，方程无解4、 方程 = 225的根是 。5、 解方程 (5) (x+1)2=0 (6)2(x1)2=0 (7)(2x+1)2=0 (8)(2x1)2=1 （9） (2x+1)2=3 （10） (x+1)2144=0 3x21=0 =0 （1）2x224=0 （2）（3）2(x2)2=50 （4）（1） 配
9、方法:用配方法解一元二次方程的一般步骤二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；用直接开平方法解变形后的方程。注意：当时，方程无解5、 （24x + ） =（x ）2。、x2+6x+ =（x+ ）2； 、x25x+ =（x ）2；、x2+ x+ =（x+ ）2； 、x29x+ =（x ）26、 用配方法解方程 （1）3x2-5x=2 （2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=01、 . 2、 3、 4、 5、 6、 （2）因式分解法：一般步骤如下：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。7、 方程3 5 x=0的根是 。8、 因式分解法解方程 y27y60； （1） ； （2）；（3） ； （4）。（5） ； （6）；（7） ； （8）；（10）.
