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1、2016届学生毕业论文材料（四）学 生 毕 业 论 文课题名称二次型及其应用姓 名兰海峰学 号1209401-23学 院数学与计算科学学院专 业数学与应用数学指导教师陈暑波 副教授2016 年 3月 15日湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业设计（论文）作者签名：
2、二一六 年 六 月 日 目 录摘要1关键词1Abstract 1Key words 11.二次型基本理论21.1二次型的矩阵表示 21.2矩阵的合同关系 21.3二次型的标准型、规范型及其性质 31.4正定二次型及其性质 32.二次型的实例应用52.1二次型在初等数学中的应用 52.1.1二次型与因式分解 52.1.2二次型与不等式的证明 72.1.3二次型在曲线上的应用 72.1.4求解多元二次函数最值 92.1.5二次型与条件极值122.2二次型在高等数学中的应用132.2.1二次型在曲面上的应用132.2.2二次型在最小二乘法上的应用14参考文献 17致谢 17附录 18二次型及其应用摘
3、要：二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。关键词：二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分QuadraticForm and Its Applications Abstract：Quadratic form is an important
4、 content in algebra, it connects quadratic function with the matrix intuitively, and make the process to research the properties of the quadratic functions easier by using matrix. However, in the undergraduate studies, learning requirements for quadratic form is not many. Thus, this project research
5、es all the properties of quadratic form in order to solve the questions about factorization, the proof of inequality, the extremum of the binary and multivariate quadratic function and a part of curve and curved surface integral. Expand the quadratic form using scope of elementary mathematics and hi
6、gher mathematics, and make undergraduates understand and use quadratic form thoroughly at the same time. Key Words：Quadratic Form；Positive Definite Matrix；Orthogonal Transformation；Multivariate Quadratic Function；Curved Surface Integral1二次型基本理论二次型理论与高等代数理论、方法及其应用有着相辅相成的关系二次型与多项式的相互表示、二次型矩阵的性质以及正定(半正
7、定)二次型关于矩阵特征值等等。在此，我们详细说明二次型的一些重要理论。1.1二次型的矩阵表示二次型是满足特殊条件的多项式的集合，矩阵是代数学的基础，应用于各个分支。使用矩阵来表示二次型，将会极大程度的简化二次型函数的表达式和其运算。根据二次型的定义，将其表示为 （1.1）把等式右边的系数转化为矩阵，即。所以二次型（1.1）的矩阵表示为其中是表示其系数的对称矩阵，。1.2二次型与矩阵的合同关系定义1.11 设数域上的矩阵和，如果有同数域上的可逆的矩阵，使得，则称和是合同的，即与是合同关系。显然，要使新二次型的矩阵还原至原二次型矩阵，只需再令，而后做线性替换即可。所以，要了解或是使用原二次型的性质
8、，可通过研究变换后的二次型的性质来实现。1.3二次型的标准型、规范型及其性质定义1.21 二次型经过非退化的线性的替换而成的平方和 （1.4）称为的一个标准型。此时，二次型的系数矩阵应为。根据二次型的标准型（1.4），再作一次对应的非退化线性替换可得 （1.6）（1.6）式即为复二次型的规范型，其中()属于复数域。同理，将实数域中的二次型标准型的系数取绝对值开方后加符号，可以得到定理1.11（惯性定理）任一个实数域上的二次型，可以经过一系列非退化线性替换变为唯一的规范型，即另外，在实数域二次型的规范型中，我们将正平方项的个数称为的正惯性指数，而将其负平方项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的
9、符号差。1.4正定二次型及其性质正定二次型是实数域二次型中特殊的集合，它们有着非常重要的性质。在初等数学和高等数学中，灵活运用正定二次型的性质可以让问题简化处理。定义1.31 如果对于任一组不全为零的实数都可使实数域二次型满足，则此二次型称为正定的。矩阵称为正定矩阵，当且仅当二次型正定时成立。对比正定性的定义，二次型的负定性、半定型与不定性有着类似的定义。这里给出正定二次型的一个特别的判断定理：定理1.21 实数域二次型是正定的充分必要条件为的顺序主子式全大于零。关于半正定性（半负定性即在函数式添加负号，为简便故只讨论一种情况）的判定，直接给出如下结论：定理1.31 对于实数域的二次型，其中是
10、对称的实数域矩阵，则下述条件等价：（1）的正惯性指数与秩相等，（2）的正惯性指数为，其符号差也为，（3）的规范型为，（4）存在实数域矩阵，使得，（5）矩阵的所有主子式大于或等于零（主子式为行指标与列指标相同的子式）。（6）有可逆的实数域矩阵，使，其中，。需要注意的是，对于第（5）条，只判断顺序主子式的性质并不能确保半正定性。例如就是负定的。2二次型的应用实例二次型基于函数与矩阵的关系，能有效的解决函数、矩阵方面的问题。因此，拓广二次型在初等数学和高等数学中的使用方式，能有效得体现出二次型的各项特性，并为充分认识和使用二次型形成了条件。2.1二次型在初等数学中的应用在初等数学中，函数的地位举足轻
11、重。因此，讨论二次型在初等数学中关于函数的作用,既是对二次型的使用范围进行扩充、对其使用方式进行变通，同时也为解题思路提供了更多的方向。2.1.1二次型与因式分解因式分解，即把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式的过程。对二次型而言，其函数表达式最高为二次，因此在讨论因式分解时，其多项式次数大于三均不考虑。现假设有二元函数表达式为 （2.1）此时，存在二次型无法表达的一次项和常数项，因此，将（2.1）式扩展为后，可得。下面，用矩阵表示出，可得取，由定理1.2可知，其中是原二次型的规范型，而矩阵应合同于规范型的矩阵。现设出矩阵,是通过非退化线性变换得到，故对函数而言，只需对应替换变量即可变换
12、回。这就是说，要使原多项式可因式分解，只需可因式分解。此时，应满足：（1）（2）。可以得出以下定理：定理2.11 设存在实数域二次型，则可分解为两个实数域的一次齐次多项式乘积的充要条件为：秩为1，或者秩为2且符号差为0。下面给出一个实例。例2.1 求解是否可以进行因式分解？如果可以，请分解。解：将扩展为，则。，取,由非退化线性变换得根据定理2.1可知，矩阵B的秩为1，故可在实数域内分解因式。最后可得。2.1.2二次型与不等式的证明对于不等式来说，一般都可以转化为与0值的比较。因此，正定二次型或负定二次型是证明不等式的有力工具。例2.2 证明三元不等式成立（其中不同时为0）。证：设函数。要证原不等式成立，只要证函数即可。现取，根据定理1.4，的一阶顺序主子式，二阶，三阶表明矩阵是正定矩阵，对任意都有2、3。所以，原不等式成立。2.1.3二次型在曲线上的应用设是正交矩阵，称线性变换为正交变换。考察空间中向量的模，可得即是两向量的长度完全相同。这便说明，向量在经过正交变换后，其长度不会发生改变。因此，几何体的整体形状也不会发生改变。这让以向量为主要研究载体的曲线（面）有了更加方便的研究方法。在此，给出定理：定理2.24 向量在经过正交变换后，其长度不会发生改变。进而其几何体形状大小也不会发生变化。例2.3 化简二次曲线方程,并判断其形
