矩阵分析基础课后答案

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1、矩阵分析基础课后答案【篇一：矩阵分析第3章习题答案】?(aij)是n阶正定hermite矩阵，在n维线性空间cn中向量 ?(x1,x2,?,xn),?(y1,y2,?,yn)定义内积为(?,?)?a?h （1） 证明在上述定义下，cn是酉空间； （2） 写出cn中的canchy-schwarz不等式。 2、 已知a? ?21?11?3? ，求n(a)的标准正交基。 ? ?11?101? ?0的基础解系再正交化单位化。 提示：即求方程ax3、 已知 ?308? ?,(1)a?3?16? ?20?5? 试求酉矩阵u，使得u h ?1?26? ? (2)a?103? ?1?14? au是上三角矩阵。

2、 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在c上的任何一个正交投影矩阵p是半正定的hermite矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵u，使u h n au为对角矩阵，已知 ?1 ?3?1? (1)a?6?1?2? 4i?6?2i?0?1i?4?3i?，(3)a?1?4i? (2)a?1004?3i?2?6i?9? ?0?i00?6?2i?2?6i? ?1?1? (4)a? ?11? 6、 试求正交矩阵q，使q t aq为对角矩阵，已知?1 2?20?1?(1)a?21?2?，(2)a? ?0 ?0?20? ?1 11?100?111 ?1?0? 1?1? ht 7、 试求矩阵p，使pa

3、p?e（或pap?e），已知 ?1i1?i?22?2? ?，(2)a?25?4? (1)a?i01? ?2?45?1?i12? 8、 设n阶酉矩阵u的特征根不等于?1，试证：矩阵e?u满秩，且h?i(e?u)(e?u)?1 是hermite矩阵。反之，若h是hermite矩阵，则e?ih满秩，且u?(e?ih)(e?ih)?1是酉矩阵。 证明：若|e?u|?0，观察秩。 ?e?u?0知?1为u的特征值，矛盾，所以矩阵e?u满 ?1h hh?(ie?u)(e? ?1 u?)h?ie? ?1 u(h ?euhh?h，只要，)要 ?i?e?uh?(e?uh)?i(e?u)(e?u)?1?(e?uh)

4、(e?u)?e?uh?(e?u) ?uh?u?uh?u 故h由 h ?h e?ih?i(ie?h)?0知i为h的特征值。由hermite矩阵只能有实数特征值可得 e?ih?0，即e?ih满秩。 uhu?(e?ihh)?1(e?ihh)(e?ih)(e?ih)?1?(e?ih)?1(e?ih)(e?ih)(e?ih)?1?(e?ih)?1(e?ih)(e?ih)(e?ih)?1?e 9、 若s,t分别是实对称和实反对称矩阵，且det(e?t?is)?0，试证： (e?t?is)(e?t?is)?1是酉矩阵。 证明： (e?t?is)(e?t?is)?1h(e?t?is)(e?t?is)?1?(e

5、?t?is)?1(e?t?is)(e?t?is)(e?t?is)?1 ?(e?t?is)?1(e?t?is)(e?t?is)(e?t?is)?1?e 10、 设a,b均是实对称矩阵，试证：a与b正交相似的充要条件是a与b的特征值相同。 证明：相似矩阵有相同的特征值。a与b正交相似? a与b的特征值相同。 若a与b的特征值相同，又a,b均是实对称矩阵。所以存在正交阵q，p使 qtaq?ptbp?(qpt)ta(qpt)?b其中qpt为正交阵。 11、 设a,b均是hermite矩阵，试证：a与b酉相似的充要条件是a与b的特征值相同。 证明：同上一题。 12、 设a,b均是正规矩阵，试证：与b酉相

6、似的充要条件是a与b的特征值相同。 同上 13、 设a是hermite矩阵，且a 2 ?e0? ?a，则存在酉矩阵u，使得uhau?r ? ?00? 0? 。 ?en?r? ?er 14、 设a是hermite矩阵，且a?e，则存在酉矩阵u，使得uau? ?0 2 h 15、 设a为正定hermite矩阵，b为反hermite矩阵，试证：ab与ba的特征值实部为0。 证：a为正定hermite矩阵?a?l h l，l为满秩的。 ，(lbl hh ?e?ab?e?lhlb?lh?e?lblh(lh)?1)?lbhlh?lblh lblh是反hermite矩阵，反hermite矩阵的特征值实部为0

7、,所以ab的特征值实部为0。 16、 设a,b均是hermite矩阵，且a正定，试证：ab与ba的特征值都是实数。 证明：同上题。 ?e?ab?e?lhlb?lh?e?lblh(lh)?1 ， (lblh)h?lbhlh?lblh，lblh是hermite矩阵，hermite矩阵的特征值为实数,所 以ab的特征值是实数。 17、 设a为半正定hermite矩阵，且a?0，试证：证明：a的特征值为?i a?e?1。 ?0，矩阵的行列式等于特征值之积。a?e特征值为?i?1， a?e?(?i?1)?1 18、 设a为半正定hermite矩阵，a?0，b是正定hermite矩阵，试证：证明：b?l

8、h a?b?b。 l，l为满秩的。 a?b?a?lhl?lh(lh)?1al?1?el?(lh)?1al?1?elhl?(l)al?eb h?1 ?1 (lh)?1al?1为半正定hermite矩阵，由上题(lh)?1al?1?e?1， a?b?(lh)?1al?1?eb?b 19、 设a为正定hermite矩阵，且a?u证明：存在u?un?n, n?n ，则a?e。 a?u?uh，?diag(?1,?,?n),?i?0。又a?un?n， e?aa?u?u h ? hh ? u?uh?2?i2?1?i?1?a?u?uh?ueuh?e 20、 试证：（1）两个半正定hermite矩阵之和是半正定

9、的；（2）半正定hermite矩阵与正 定hermite矩阵之和是正定的。 提示：考查xh(a?b)x 21、 设a是正定hermite矩阵，b是反hermite矩阵，试证：ab是可逆矩阵。 提示：a为正定hermite矩阵?a?l h l，la?b?lhe?(lh)?1bl?1l (lh)?1bl?1是反hermite矩阵，特征值?i实部为0,e?(lh)?1bl?1?(1?i)?0，所 以 a?b?0 22、 设a，b是n阶正规矩阵，试证：a与b相似的充要条件是a与b酉相似。 证明：充分性，酉相似?相似。 必要性，a，b是n阶正规矩阵，a?u1b相似, h ?1u1,b?u2h?2u2,u

10、i?un?n，又a与 a与b的特征值相同,可设 ?1?2，a?u1h?1u1?u1hu2bu2hu1,u2hu1?un?n h 23、 设a?a，试证：总存在t?0，使得a?te是正定hermite矩阵，a?te是负定 hermite矩阵。 提示：a的特征值为?i，则a?te的特征值为?i ?t 24、 设a是正定hermite矩阵，且a还是酉矩阵，则a?e。 提示： 25、 设a、b均为正规矩阵。且ab?ba，则ab与ba均为正规矩阵。 提示：用定理，a,b可以同时酉对角化。h 26、 设a?a，试证：u?(a?e)(a?e)?1是酉矩阵。 提示： uhu?(a?e)(a?e)?1h(a?e

11、)(a?e)?1?(?a?e)?1(?a?e)(a?e)(a?e)?1?(a?e)?1(a?e)(a?e)(a?e)?1?e 27、 设a为n阶正规矩阵，?1,?2,?,?n为a的特征值，试证： aha的特征值为 |?1|2,|?2|2,?,|?n|2。 ?1?1?1? ?，uhahau?hh ?提示：uau?，所以aa的特征值? ?n?n?n? 为i?i ?i n?n 2 28、 设a?c，试证：（1）a h hh a和aah都是半正定的hermite矩阵；（2）aa和aa 的非零特征值相同。 提示：（1）xhahax （2）a h ?(ax)h(ax)?0 ax?ix?aahax?iax，

12、特征值的重数也相同，参见p191 r 2 ，则a?0；（2）若a?a，?0（r为自然数） 29、 设a是正规矩阵，试证：（1）若a h322 则a?a；（3）若a?a，则a?a。 30、 设ah?a,bh?b，求证以下三条件等价： （1）a?b为正规矩阵 （2）ab?ba （3）(ab)h ?ab ?ahb?bha?abh?bah由 解：（1）?（2）(a?b)h(a?b)?(a?b)(a?b)h ah?a,bh?b?ab?ba。 （2）?（3）ab?ba,由a（2）?（1）(a?b) h h ?a,bh?b?ab?bhah?(ab)h (a?b)?(a?b)(a?b),由 ab?ba?(a?

13、b)(a?b)?(a?b)(a?b)【篇二：矩阵分析习题】第一部份内容 第一章 线性空间与线性换 1、概念与性质 （1）线性空间、线性子空间、向量有关概念（线性相关、线性无关、线性表出，向量组的秩、基、维数、坐标）、过渡矩阵、基坐标关系 （2）子空间：和、交、直和、维数公式 （3）线性空间同构，同构性质 （4）线性变换、线性变换空间、线性变换的表示矩阵、不同基下线性变换表示矩阵关系、线性变换的特征值与特征向量 （5）不变子空间、不变子空间与线性变换的联系 2、计算 （1）求向量组的秩、空间的基、维数、向量在基下的坐标 （2）求过渡矩阵、基坐标关系求坐标 （3）求线性变换的表示矩阵 （4）求矩阵

14、的特征值与特征向量、线性变换的特征值与特征向量 第二章 内积空间 1、概念与性质 （1）实内积空间、复内积空间、欧氏空间、酉空间，cauchy-schwartz不等式、常见线性空间的内积 （2）正交向量、标准正交向量、正交基、标准正交基、gram-schmidit直交化、子空间直交、直交补空间及性质 （3）内积空间同构 （4）正交变换、酉变换及等价命题、正交矩阵、酉矩阵 （5）点到子空间距离、最小二乘法 （6）正规矩阵、特殊的正规矩阵：hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵 （7）hermite二次型、标准型及标准化、正定、负定 2、计算 （1）gram-schmidit直交化求正交向量组、标准正交向量组 （2）法方程解最小二乘问题 （3）化hermite二次型为标准型 第三章 矩阵的标准形 1、概念与性质 （1）多项式矩阵、smith标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及关系 （2）矩阵相似对角化、酉对角化、jordan标准形 （3）hilmilton-cayley定理、最小多项式 （4）schur定理、qr分解、奇异值分解、满值分解 2、计算 （1）求多项式矩阵的smith标准形、行列式因子、不变因子、初等因子