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1、1 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 一、定义公式 二、函数关系 锐角三角函数 任意角三角函数 1、倒数关系 2、商数关系 3、平方关系 三角函数公式 2 三角函数公式 三、诱导公式 1、设为为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 2、设为为任意角，+与的三角函数值之间的关系： 3、设为为任意角，与的三角函数值之间的关系： 4、设为为任意角，与的三角函数值之间的关系： 5、设为为任意角，2与的三角函数值
2、之间的关系： 6、设为为任意角，/2及3/2与的三角函数值之间的 关系： 口诀： 奇变偶不变，符号看象限即形如（2k+1）90，则函数名 称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余 切变正切。形如2k90，则函数名称不变。 3 四、基本公式 2、和差化积 口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前， 余减余，负正弦 1、和差角公式 二角和差公式 三角和公式 3、积化和差 4 四、基本公式 4、二倍角公式 5、三倍角公式 6、四倍角公式 7、五倍角公式 证明 sin3 a =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina = 2sina(1-sin2a)+(1
3、-2sin2a)sina =3sina-4sin 3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =( 2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a- 3cosa sin3 a =3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) = 4sina(3/2)-sina(3/2)+sina =4sina(sin60+ sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos( 60-a)/2*2sin(60-a)/2cos60+a)/2 = 4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a =
4、4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/ 4) =4cosacos2a-(3/2)2 =4cosa(cosa- cos30)(cosa+cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2 cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/ 2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin 90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60- a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得： tan3a=tanatan(60-a) tan(60+a) sin4a=
5、-4*cosa*sina*(2*sina2-1) cos4a=1+(-8*cosa2+8*cosa4) tan4a=(4*tana-4*tana3)/(1-6*tana2+tana4) 5 四、基本公式 8、n倍角公式 应用欧拉公式 上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为： 所以 其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分而 9、半角公式 正负由/2所在的象限决定 10、万能公式 11、辅助角公式 证明由于tan = b/a ，显然0，且 6 五、其他公式 1、正弦定理 在任意 ABC中，角 A、 B、 C所对的边长分别为 a、 b、 c， 三角形 外接圆的半径为 R则有： 2、余弦定理 对
6、于如图所示的边长为a、b、c而相应角为、的ABC， 有： 3、降幂公式 sin=1-cos(2)/2 7、傅里叶级数 傅里叶级数又称三角级数 cos=1+cos(2)/2 tan=1-cos(2)/1+cos(2) 4、三角和 sin(+)=sincoscos+cossincos+ coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin- sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)(1- tantan-tantan-tantan) 5、幂级数 c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n
7、=0) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,.cn.及a都 是常数， 这种级数称为幂级数。 6、泰勒展开式 泰勒展开式又叫幂级数展开法 实用幂级数： f(x)=a0/2+(n=0) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/(-) (f(x)dx an=1/(-) (f(x)cosnx)dx bn=1/(-) (f(x)sinnx)dx ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n!+,xR ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-+(-1)k-1xk/k, x(-1,1
8、) sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+, xR cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)kx2k/(2k)!+, xR arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2* 4*6*7)+(2k+1)!*x2k+1/(2k!*(2k+1)+, x(-1,1)（!表 示双阶乘） arccos x = /2 -x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5) x7/(2*4*6*7), x(-1,1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 -, x(-,1) sinh x = x+x3/3!+x/5!+x2k-1/(2k-1)!+, xR cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+x2k/(2k)!+, xR arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4* 6*7), x(-1,1) arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + , x(-1,1) f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.+f(n)(a)/n!*(x-a) n+ 正弦定理变形可得： 7 8
