《一元二次函数资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次函数资料（98页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一元二次函数,2018,1.在某一问题中，保持 的量叫常量，可以取 的量，叫做变量.,不变,不同数值,2.函数：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每个值，y都有_与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量.如果自变量x取a时，y的值是b，就把b叫做x=a时的函数值.,唯一确定的值,3.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直而且有公共原点的数轴，水平的一条叫做x轴或横轴，习惯上取向 的方向为正方向， 的一条叫做 或 ，取向上的方向为正方向，这就组成了平面直角坐标系.,y轴,纵轴,右,铅直,一次函数： 若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k0）的
2、形式，则称 y是x的一次函数。（x为自变量，y为因变量） 当b=0时，称y kx是x的正比例函数,知识点回顾：,知识回顾,1、一次函数的图像有何特征？,一次函数的图像是一条 。 当 时，y随x的增大而增大； 当 时，y随x的增大而减小。,直线,k0,k0,2、画函数图像的基本步骤是： 、 、 。,列表,描点,连线,作出一次函数y=2x和Y=2X+1的图象,一次函数做图步骤 1列表 2描点 3连线,Y,X,O,Y=2X,Y=2X+1,-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,7,8,-7,-8
3、,认识一元二次函数,知识回顾,二次函数的一般形式是怎样的？,y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0),定义中应该注意的几个问题:,1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数. y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0) 2.几种不同表示形式: (1)y=ax - (a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c - (a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx - (a0,b0,c=0).,下列函数中，哪些是二次函数？,( ),( ),( ),否,是,否,否,( ),是,( ),(6) y=ax +bx+c,在二次函数y=ax+bx+c(
4、a0)中， a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。填表：,二次函数 中，x=-2时，y= ； 当y =2时， x = ；,-3,-1或3,y=-2x+6,解得 m=-3, 当m=-3时，原函数为二次函数。,已知函数 （1）当k 时，y是x的二次函数？ （2）当k 时，y是x的一次函数？,是关于x的二次函数，求m的值。,0且k 1,=1,火眼金睛,二次函数的图像和性质,探究新知,你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：,9,4,1,1,0,4,9,画函数图象的基本步骤: 列表，描点，连线。,描点,连线,y=x2,二次函
5、数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线,二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，,二次函数的图象都是抛物线。 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c,思考：这个二次函数图象有什么特征？,（1）形状是开口向上的抛物线,（2）图象关于y轴对称,（3）有最低点，没有最高点,y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y =
6、x 2 的最低点,实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点顶点是抛物线的最低点或最高点,思考：这个二次函数图象有什么特征？,（1）形状是开口向上的抛物线,（2）图象关于y轴对称,（3）有最低点，没有最高点,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.,当x0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.,抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.,这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,当x0 (在对称轴
7、的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.,抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.,二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.,抛物线y=x2与x轴有一个交点，是原点（0，0）,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,你能根据表格中的数据作出猜想吗？,在学中做在做中学,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,(2)先想一想，然后作出它的图象,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,x,y,0,-
8、4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,y=-x2,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.,当x0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.,y,抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.,二次函数y=x2的性质,2.顶点坐标与对称轴,1.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y= -x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的
9、下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最
10、小. 当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,归纳,做一做,(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 , 在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧, y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小 值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).,(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 , 当x 0时,y0.,（0，0）,y轴,右,左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,
11、0,不等于,例题与练习,例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,8,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,4.5,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,观察,共同点:,不同点:,开口都向上;,顶点是原点而且是抛物线 的最低点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a|越大，,在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。,在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。,
12、抛物线的开口越小。,解: 列表,(2) 描点,(3) 连线,-,-2.25,-,-0.25,-0.25,-,-2.25,-,-2,-2,-,-,-,-,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-4. 5,-4. 5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,观察,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,共同点:,开口都向下;,不同点:,顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a| 越大，,在对称轴的左侧， y随着
13、x的增大而增大。,在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。,抛物线的开口越小,对比抛物线，y=x2和y=x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=ax2呢？,在同一坐标系内,抛物线 与 抛物线 是关于x轴对称的.,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而减小。,当x0时, y随着x的增大而增大。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,归纳小结,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,抛物线的开口就越小.,|a|越小,抛物线的开口
14、就越大.,1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.,解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.,（2）把x= -1代入，y -2 -4. 所以点B不在抛物线上。,（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是,反馈测试,抛物线y=4x2中的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 抛物线 y= -,x2 的开口方向是 ，顶点坐标是 ， 对称轴是 . 3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= .,二次函数y2x21的图象与二次函数y2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个问题？,画出函数y2x2和函数y 2x2+1的图象，并加以比较,（1）二次函数 y=2x1 的图象与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？,（0，1）,（0，1）,问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?,2、函数y2x21的图象可以看成是将函数
