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1、现代科学工程计算基础课后习题现代科学工程计算基础课后习题 第一章第一章 绪论绪论 基本上不会考，略 第二章第二章 函数的插值与逼近函数的插值与逼近 1.(1) 证明： 由题意有(x) = (x 0)(x 1) (x k;1)，则有以下式子: 0() = 1 1() = 0,( = 0 ) 2() = 0,( = 0,1 ) ;1() = 0,( = 0,1,;2 ) () = 0,( = 0,1,;2,;1 ) 考察a00(x) + a11(x) + +a;1;1(x) + a(x) = 0 的系数， 依次代入x0,x1,x;1得： a00 (x 0) = 0,又 0() = 1,可得a0 =
2、 0 a00 (x 1) + a11 (x 1) = 0,可得a1 = 0 a00 (x k;1) + a11 (x ;1) + +a;1;1 (x ;1) = 0,可得a;1 = 0 最后代入x得： a00 (x k) + a11 (x ) + +a (x ) = 0,可得a = 0 由于a0= a1= a2= a;1= a= 0,所以*(x)+( = 0,1, ,n)线性无关. 1.(2)证明： 由题意有(x) = (x;0)(x;1)(x;+1)(x;) (;0)(;1)(;+1)(;) , 以及 ( ) = = 1, = 0, (, = 0,1,n). 考察a00(x) + a11(x
3、) + +a;1;1(x) + a(x) = 0 的系数， 代入x0得：a00 (x 0) =0，又0 (x 0) = 1，可得a0 = 0 代入x得：a(x) =0，又(x) = 1，可得a= 0 由于a0= a1= a2= a;1= a= 0,所以*(x)+( = 0,1,n)线 性无关. 2.(1)证明： 令f(x) = ,则f(x)的 n 次 Lagrange 插值多项式= () 0。 对 A 进行 1 步 Gauss 消元，相对于初等行变换(某行(列)乘以实数 加到另一行(列）上)，不会改变行列式的值。则： D = | 11111 0 0 | = D 0,(1 k n,2 i,j k
4、) 又有 D = 11| 22 2 2 | 0,110 | 22 2 2 | 0， 即A2的各阶顺序主子式都大于 0。又由 3.(1)可知A2对称，故A2矩阵 为对称正定矩阵。 4.解； 将方程组写成矩阵乘法得形式： Ax = b，其中 A = 541 464 146 ,x = 1 2 3 ,b = 2 1 1 运用平方根分解，即A = ,原方程化为() = Gy = 。 设 = 1100 21220 313233 ,则= 112131 02232 0033 . 运用矩阵乘法得： = 50 0 45 5 14 5 0 5 5 814 7 437 35 ,= 5 45 5 5 5 0 14 5
5、814 7 00 437 35 使用 = ，即 50 0 45 5 14 5 0 5 5 814 7 437 35 1 2 3 = 2 1 1 ,解得y = 1 2 3 . 使用 = ,即 5 45 5 5 5 0 14 5 814 7 00 437 35 1 2 3 = 1 2 3 ,解得x = 1 2 3 . 5.解； 运用定理 3.1，若 n 阶矩阵的顺序主子式 0( = 1,2,n 1),则 A 有唯一的 LU 分解。 对于A1,|1 2 24| = 0，故不存在 LU 分解。 对于A2,|1 1 22| = 0，故不存在 LU 分解。 对于A3,|1 2 25| = 1，| 126
6、2515 61546 | = 1，故存在唯一的 LU 分解。 6.证明； A = 11121 21 1 1 步 Gauss 消元 11121 0 0 ,(2 i,j n). 其中 = 1 11 1. 因为 A 为严格对角占优矩阵，即| |,( = 1,2,n) ()() = 1 2 = 2 10.解； 1= | | 1 = |3| + |2| + |1| = 6 2= ( 2 1 ) 1 2 = (32+ (2)2+ 12) = 14 = max 1 | | = 3 11.解； A = 1 01 2 210 3 121 4 432 ，A= 121 012 101 ，AA= 222 250 20
7、6 则A1= 4(列范)，A= 4(行范),计算AA的特征值得1 = 1,2= 6,3= 6 ,A2= 6. cond(A)2= A2A;12 = 1 2 = 6 A;1= 1 6 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 5 6 1 3 1 6 ,cond(A)= AA;1= 4 4 3 = 16 3 12.解； A = 0100 99 99981, ;1 = 098 99 991001 cond(A)1= A1 A;11= 199 199 = 39601 cond(A)= AA;1= 199 199 = 39601 A = 0100 99 99981,A = 0100 99 99981,AA
8、 = 019801 19602 19602194051 求得AA的特征值为1= 0,2= 39206 cond(A)2= A2A;12=1 2 = 198 0051. 13.(1)解： cond(3)= 1 + 1 2 + 1 3 = 11 6 , cond(6)= 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 = 147 60 13.(2)解： H3x = b,即 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 5 x1 x2 x3 = 11 6 13 12 47 60 ，得 x1 x2 x3 = 1 1 1 H3 x = b,即 1 000 5000 33
9、3 0 5000 3330 250 0 3330 2500 200 x1 x2 x3 = 1 83 1 08 0 783 ，得 x1 x2 x3 = 1 0895 0 4880 1 4910 14.(1)证明： 因为 x R,设 x 为向量,1,2,-, x= max 1 1 = x1 x= max 1 1 = x1 综上所述，x x1 x 14.(2)证明： 设矩阵 B = A，则= 0 = ( )2 1 ,(1 i n) 则 1 = 2 ,1 = ()2. 根据定理：矩阵的迹(主对角元素之和)等于特征值之和. 则 1 = 1+ 2+ +(为矩阵 A 特征值的个数) 而2= ,则有 ( )2
10、= 1 1 = 1+ 2+ + = (2)2 ()2= = 1+ 2+ + = 1 (2)2 有 0(矩阵范数非负),开方即可得： 2 15.证明： cond(AB) = AB(AB);1 = AB A;1 B;1 A B B;1 A;1 = A A;1 B;1 = ()() 第五章第五章 解线性代数方程组的迭代法解线性代数方程组的迭代法 1.(1)解： Jacobi 迭代格式(k=0,1, ) 1 (:1) = 0 + 1 10 2 () + 0 + 12 10 2 (:1) = 1 10 1 () + 0 + 2 10 2 () + 23 10 3 (:1) = 0 + 2 10 2 ()
11、 + 0 + 14 10 得相应的矩阵为:B = 0 1 10 0 1 10 0 2 10 0 2 10 0 , = 12 10 ;23 10 14 10 根据迭代公式(:1)= ()+ ( = 1,2,),(0)= (0,0,0,0)得： k 1 () 2 () 2 () 1 1.2 -2.3 1.4 2 0.97 -1.9 0.94 3 1.01 -2.015 1.02 4 0.9985 -1.9950 0.9970 5 1.0005 -2.0008 1.0010 6 0.9999 -1.9997 0.9998 7 1.0000 -2.0000 1.0000 (:1) ()= 3 10;4 10;3 Gauss-Seidel 迭代形式： 1 (:1) = 0 + 1 10 2 () + 0 + 12 10 2 (:1) = 1 10 1 (:1) + 0 + 2 1
