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1、医用高等数学,张绍军 分子生物学馆110室 22283650,第一章 函数 极限 连续,1.1函数,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,一、函数的概念,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,两函数等同,当且仅当它们的定义域和对应法则都相同.,1.函数的单调性:,函数的特性,2.函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,3函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,有界,无界,4函数的有界性:,二、函数的表示方法,解析法 列表法 图象法,三、几种特殊的函数类,1. 分段函数,例如,又如,5,2,1,
2、1.对分段函数必须搞清每一个解析式所对应的 自变量的 取值范围;,2.分段函数表示的是一个函数.,注意,例1.,解,故,(1)符号函数,(2)取整函数,阶梯曲线,y=x x表示不超过 的最大整数,(3)狄利克雷函数（Dirichlet）,(4)取最值函数,2.复合函数,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,3.复合函数不能交换次序,3.反函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,定义：设函数y=f(x)定义域为集合X，值 域Y，并且对于每个y Y，都有唯 一的一个逆象x X与之对应，这 样就可得到一个新的函数，Y为
3、定 义域，X为值域y为自变量，x为因 变量。称为函数f的反函数,奇函数.,偶函数.,4.双曲函数,五、基本初等函数,1.常数函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,5.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5.反三角函数,常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,六、初等函数,由六类基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,初等函数定义,七、小结,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理
4、整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),1.2极限,一、数列极限 二、函数极限,1.数列极限的定义,2.收敛数列的四则运算,一、 数列的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,播放,刘徽,（一）、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2.截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”庄子天下,（二）、数列的定义,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2, 4,
5、 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .,数列的几何意义,数列与函数,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,播放,（三）、数列的极限,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为,数列极限的通俗定义,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限 或说数列 是发散的，习惯上也说 不存在.,1.割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失
6、矣”,刘徽,(一)、概念的引入,1.割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,(一)、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,(一)、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,(一)、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,(一)、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,(一)、概念的引入,“割之弥
7、细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,(一)、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,(一)、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,(一)、概念的引入,返回,（三)、数列的极限,（三)、数列的极限,（三)、数列的极限,（三)、数列的极限,（三）、数列的极限,（三）、数列的极限,（三）、数列的极限,（三）、数列的极限,（三）、数列的极限,（三）、数列的极限,（三）、数列的极限,（三）、数列的极限,（三）、数列的极限,返回,
8、（三）数列极限的四则运算,如果 ，那么,注：使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在。,特别地，如果C是常数，那么,也就是说：如果两个数列都有极限，那么由这两个数列的各对应项的和、差、积、商组成的数列的极限，分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（各项作为除数的数列的极限不能为0）。,二、函数极限,关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：,一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，,二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势,（一）、自变量趋向无穷大时函数的极限,播放,返回,通过上面演示实验的观察:,2.另两种情形:,3.几何解释:,例1
9、,(二)、自变量趋向有限值时函数的极限,当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时f(x)的极限.,1.定义,2.几何解释:,注,1.,当x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态 并无关系，我们只关心f(x) 在x0附近的变化趋势，即 x x0时f(x) 变化有无终极目标，而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。所以约定x x0但xx0,2.,xx0的方式是任意的,3.,常数函数的极限就是本身，,例2,例3,例4,注,在求解函数极限时，也可考虑对函数进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x
10、0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,例5,解：,左右极限存在但不相等,4.函数极限运算法则,均存在，则,1),2),（k为常数）,3) 当,时，,注 1. 以上结论均在 ，limg(x)存在的前提下成 立;,2. 极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函 数情形.,3.自变量必须是同一变化过程,例6,解,解,商的法则不能用,例7,解,例8,(消去零因子法),例9,（a00，b00，m,n0).,解： 1）m=n, 原式,2）mn, 原式,3）mn，原式=.,(1),三、两个重要极限,例10,解,3) 设 u=arcsinx x0时u0
11、,例11,解,例12,解,(2),四、无穷小量与无穷大量,极限为零的变量称为无穷小(量).,1.无穷小的定义,问：无穷小是否为很小的数？,很小的数是否为无穷小？,注意,（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;,在自变量的同一变化过程xx0(或x)中 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)-A为无穷小（或者 f(x)Aa 其中是无穷小）,定理1,2.无穷小与函数极限的关系,意义： 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的性质,（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无 穷小.,（2）在同一过程中，有界量与无穷小的乘积是无穷
12、小,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积是无穷小.,推论1 （在同一过程中）有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小； 无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.,4.无穷小的比较（阶）,都是无穷小,引例 .,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,在x0的过程中 x20比3x0“快些” 反过来3x0比x20“慢些” 而sin x0与x0“快慢相仿”两个无穷小比值的极限的各种不同情况的无穷小趋于零的“快慢”程度,定义： 设a 及b为同一个自变量的变化过程中的无穷小,如果 ，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o(a) ；,如果 ，就说b是
13、比a低阶的无穷小,如果 ，就说b与a是同阶无穷小；,如果 ，就说b与a是等价无穷小，记作ab ,5.无穷大的定义,绝对值无限增大的变量称为无穷大（量）。,注意,（2）无穷大是变量，不能与很大的数混淆;,6.无穷小与无穷大的关系,在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。,小结,1.,2.两个重要极限,3.无穷小（比较）,第三节 函数的连续性,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、初等函数的连续性,四、闭区间上连续函数的性质,图（1）满足3条； 图（2）不满足（1）； 图（3）不满足条件（2）； 图（4）不满足条件（3）,一、函数连续性的概念,如果函数 在点 处及其附
14、近有定义，而且 ， 就说函数 在点 处连续,定义1,注意：,增量Dx可以是正的,可以是负的,也可以为零； 记号Dx并不表示某个量D与变量x的乘积,而是 一个整体不可分割的记号。,定义2（增量定义） 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果,那么就称函数 y=f(x) 在点x0连续,自变量(x在x0的)增量：Dx=x-x0 函数(y=f(x)在x0的)的增量：Dy=f(x)-f(x0) = f(x0+Dx)-f(x0)=y-y0,例1.,证明：,右连续但不左连续 ,单侧连续,左连续：,右连续：,定理 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连 续且右连续,在区间
15、上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的,连续函数 或者说函数在该区间上连续如果区间包括端 点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续,二、函数的间断点,设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一,(1)在x0没有定义,则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点,(2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在,(3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0),例2,函数 在点x=1没有定义,所以函数在点,x=1为不连续.,如果补充定义:令x=1时y=2,则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.,例3 函数,因为,f(x)的间断点.因f(x)的图形在x=0处产 生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的 跳跃间断点,第一类间断点,例4,正切函数y=tanx在 处没有定义,所以点,是函数tanx的间断点.因,我们称 为函数tanx的无穷间断点。,例5 函数 在点x=0没有定,
