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1、 2015年安徽省高考数学试卷(文科)一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)1(5分)(2015安徽)设i是虚数单位,则复数(1i)(1+2i)=()A3+3iB1+3iC3+iD1+i【答案】C【解析】复数(1i)(1+2i)=1+2i+2i=3+i2(5分)(2015安徽)设全集U=1,2,3,4,5,6A=1,2,B=2,3,4,则A(RB)=()A1,2,5,6B1C2D1,2,3,4【答案】B【解析】RB=1,5,6;A(RB)=1,21,5,6=13(5分)(2015安徽)设p:x3,q:1x3,则p是q成立的(
2、)A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设p:x3,q:1x3,则p成立,不一定有q成立,但是q成立,必有p成立,所以p是q成立的必要不充分条件4(5分)(2015安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()Ay=lnxBy=x2+1Cy=sinxDy=cosx【答案】D【解析】对于A,y=lnx定义域为(0,+),所以是非奇非偶的函数;对于B,是偶函数,但是不存在零点;对于C,sin(x)=sinx,是奇函数;对于D,cos(x)=cosx,是偶函数并且有无数个零点;5(5分)(2015安徽)已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值是(
3、)A1B2C5D1【答案】A【解析】由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线y=2x+z经过A时使得z最大,由得到A(1,1),所以z的最大值为21+1=1;6(5分)(2015安徽)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是()Ax2=1By2=1Cx2=1Dy2=1【答案】A【解析】由双曲线方程=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,由A可得渐近线方程为y=2x,由B可得渐近线方程为y=x,由C可得渐近线方程为y=x,由D可得渐近线方程为y=x7(5分)(2015安徽)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为()A3B4C5D6【答案】B【解析】模拟执行程序框图,可得a=1,n
4、=1满足条件|a1.414|0.005,a=,n=2满足条件|a1.414|0.005,a=,n=3满足条件|a1.414|0.005,a=,n=4不满足条件|a1.414|=0.002670.005,退出循环,输出n的值为48(5分)(2015安徽)直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切,则b=()A2或12B2或12C2或12D2或12【答案】D【解析】x2+y22x2y+1=0可化为(x1)2+(y1)2=1直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切,圆心(1,1)到直线的距离d=1,解得:b=2或129(5分)(2015安徽)一个四面体的三视图如图所示,则该四面
5、体的表面积是()A1+B1+2C2+D2【答案】C【解析】可画出立体图形为三棱锥OABC,OE底面ADC,EA=ED=1,OE=1,AB=BC=ABBC,可判断;OABOBC的直角三角形,SOAC=SABC=1,SOAB=SOBC=2=该四面体的表面积:2,10(5分)(2015安徽)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()Aa0,b0,c0,d0Ba0,b0,c0,d0Ca0,b0,c0,d0Da0,b0,c0,d0【答案】A【解析】f(0)=d0,排除D,当x+时,y+,a0,排除C,函数的导数f(x)=3ax2+2bx+c,则f(x)=0有两个不同的正
6、实根,则x1+x2=0且x1x2=0,(a0),b0,c0,二、填空题11(3分)(2015安徽)lg+2lg2()1= 【答案】-1【解析】原式=lg5lg2+2lg22=lg5+lg22=lg102=12=1; 12(3分)(2015安徽)在ABC中,AB=,A=75,B=45,则AC= 【答案】2【解析】A=75,B=45,则C=1807545=60,由正弦定理可得,=,即有AC=213(3分)(2015安徽)已知数列an中,a1=1,an=an1+(n2),则数列an的前9项和等于 【答案】27【解析】an=an1+(n2),anan1=(n2),数列an的公差d=,又a1=1,an=
7、1+(n1)=,S9=9a1+d=9+36=27,14(3分)(2015安徽)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|xa|1的图象只有一个交点,则a的值为 【答案】【解析】由已知直线y=2a是平行于x轴的直线,函数y=|xa|1的图象是折线,所以直线y=2a过折线顶点时满足题意,所以2a=1,解得a=;15(3分)(2015安徽)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量满足=2,=2+,则下列结论中正确的是(写出所有正确结论得序号)为单位向量;为单位向量;(4+)【答案】【解析】ABC是边长为2的等边三角形,已知向量满足=2,=2+,则=,AB=2,所以|=1,即是单位向量;正确;
8、因为=2,所以,故|=2;故错误;正确;夹角为120,故错误;(4+)=4=412cos120+4=4+4=0;故正确 三、解答题16(2015安徽)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x(1)求f(x)最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值【解析】(1)函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+),它的最小正周期为=(2)在区间上,2x+,故当2x+=时,f(x)取得最小值为 1+()=0,当2x+=时,f(x)取得最大值为 1+1=1+17(2015安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机
9、访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为40,50,50,60,80,90,90,100(1)求频率分布图中a的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;(3)从评分在40,60的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在40,50的概率【解析】(1)因为(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1,解得a=0.006;(2)由已知的频率分布直方图可知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)10=4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4;(3)受访职工中
10、评分在50,60)的有:500.00610=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工评分在40,50)的有:500.00410=2(人),记为B1,B2从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,分别是A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果有1种,即B1,B2,故所求的概率为P=18(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bn=,求数列bn的前n项和Tn【解析
11、】(1)数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8a1+a4=9,a1a4=8解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍),解得q=2,即数列an的通项公式an=2n1;(2)Sn=2n1,bn=,数列bn的前n项和Tn=+=119(2015安徽)如图,三棱锥PABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60(1)求三棱锥PABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求的值(1)【解析】由题设,AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=因为PA平面ABC,PA=1,所以VPABC=SABCPA=;(2)【解析】过B作BNAC,垂足
12、为N,过N作MNPA,交PA于点M,连接BM,由PA平面ABC,知PAAC,所以MNAC,因为BNMN=N,所以AC平面MBN因为BM平面MBN,所以ACBM在直角BAN中,AN=ABcosBAC=,从而NC=ACAN=由MNPA得=20(2015安徽)设椭圆E的方程为=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,b),N为线段AC的中点,证明:MNAB【解析】(1)设M(x,y),A(a,0)、B(0,b),点M在线段AB上且|BM|=2|MA|,=2,即(x0,yb)=2(ax,0y),解得x=a,y=b,即M(a,b),又直线OM的斜率为,=,a=b,c=2b,椭圆E的离心率e=;(2)证明:点C的坐标为(0,b),N为线段AC的中点,N(,),=(,),又=(a,b),=(a,b)(,)=a2+=(5b2a2),由(1)可知a2=5b2,故=0,即MNAB21(2015安徽)已知函数f(x)=(a0,r0)(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+)内的极值【解析】(1)函数f(x)=(a0,r0),xr,即f(x)的定义域为