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1、1 20152015 考研数学综合强化课考研数学综合强化课 概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲老师：方浩主讲老师：方浩 2 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 3 （一一）随机试验和样本空间随机试验和样本空间 1 1. . 随机试验随机试验 2 2. . 样本空间样本空间: 随机试验所有可能发生的结果随机试验所有可能发生的结果 组成的集合组成的集合 样本点样本点: 随机试验的每个可能结果随机试验的每个可能结果 3.3. 基本事件基本事件:样本空间中的一个样本点组成的样本空间中的一个样本点组成的 单点集单点集 4 4. . 随机事件随机事件:样本空间样本空间 的子集的子集 4 5.5
2、. 必然事件必然事件 ：随机试验中必然发生的事件，记随机试验中必然发生的事件，记 作 作 . . 6.6. 不可能事件不可能事件 ：每次试验中一定每次试验中一定不发生，记为不发生，记为 . . 5 ( (二二) ) 事件事件的关系和运算的关系和运算 1.1. 事件间的关系事件间的关系 (1) (1) 包含包含： ： AB (2)(2) 相等相等： ： AB (3)(3) 和和： AB (4)(4) 积积： AB (5)(5) 差差: : =AB AB (6)(6)互斥互斥( (互不相容互不相容) )：AB . . (7)(7)对立：对立： AB ，AB . .记为记为BA . . 6 2.2.
3、 运算律运算律 (1)(1)交换律：交换律：;ABBA ABBA (2)(2)结合律：结合律：()()ABCABC ()()ABCABC (3)(3)分配律：分配律：()()()ABCABAC (4)(4)对偶律对偶律( (摩根律摩根律) )： ,ABAB ABAB 7 ( (三三) )概率的定义与性质概率的定义与性质 1.1. 概率的定义概率的定义 (1)(1)非负性：非负性： ( )0P A . . (2)(2)规范性：规范性： ()1P . .( (反之不成立反之不成立) ) (3)(3)可列可加性：可列可加性： 12 ,A A两两互不相容两两互不相容 1212 ()()()P AAP
4、AP A 8 2.2. 概率的性质概率的性质 (1)(1)非负性：非负性： 0( )1P A. . (2)(2)规范性：规范性： ()0,()1PP . . (3)(3)有限可加性：有限可加性： 12 , n A AA两两互不相容两两互不相容 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A. . (4)(4) ( )1( )P AP A. . 9 3.3. 基本公式基本公式 加法公式加法公式 ()( )( )()P ABP AP BP AB 3 123123 1,j () iij ii P AAAP AP A AP A A A 减法公式减法公式 ()( )()()P ABP A
5、P ABP AB 逆事件逆事件 ( )1( )P AP A 10 （四四）三大三大概型概型 1.1.古典概型古典概型 ( ) A An P A n 中中基基本本事事件件的的 中中基基本本事事件件 2.2.几何概型几何概型 ( ) A P A 的的度度（或或面面积积、体体积积） 的的度度（或或面面积积、体体积积） 11 3.3.伯努利概型伯努利概型 定义定义 ：随机试验只有两个可能结果：随机试验只有两个可能结果：A和和A； 每次每次试验试验A发生发生概率相等概率相等( )P Ap 结论结论 ：n重伯努利试验，重伯努利试验， 事件事件A发生发生k次的概率：次的概率： ( , )(1)(0,1,2,
6、 ) kkn k kn B n pC ppkn . . 12 （五五）条件概率，乘法公式条件概率，乘法公式，独立性独立性 1.1.条件概率条件概率：( )0P A ，A发生发生条件下条件下B发生的概发生的概 率率 () () ( ) P AB P B A P A 13 2.2.条件概率的性质条件概率的性质 (1) (1) 非负性：非负性：0(|)1P B A (2) (2) 规范性：规范性：(|)1PA (3) (3) 逆事件逆事件：(|)1(|)P A BP A B (4)(4) 加法公式：加法公式： 121212 (|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A AB 减法公式：减
7、法公式： 12112 (|)()(|)P AABP A BP A AB 14 3.3. 乘法公式乘法公式 ()() ( )P ABP B A P A 12121211 ()()() () nnn P A AAP A A AAP A A P A 15 4.4.两个事件的独立性两个事件的独立性 定义定义：()( ) ( )P ABP A P B , ,称事件称事件,A B相互独立相互独立. . 推论：推论：设设0( )1P A， ,A B独立独立( )(|)(|)P BP B AP B A 性质：性质：,A B独立，则独立，则A与与B，A与与B，A与与B也相也相 互独立互独立 16 5.5.三个事
8、件的独立性三个事件的独立性 1)1)()( ) ( )P ABP A P B ； 2)2)()( ) ( )P ACP A P C ； 3)3)()( ) ( )P BCP B P C ； 4)4)()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C ； 满足满足 1 1- -3 3：称三个事件称三个事件,A B C两两独立两两独立. . 满足满足 1 1- -4 4：称三个事件称三个事件,A B C相互相互独立独立. . 17 ( (六六) )全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 1.1. 完 备 事 件 组 ：完 备 事 件 组 ： 若 事 件若 事 件 1 , n AA ,
9、1 ij A Aijn ，称事件，称事件 1, , n AA是一个完是一个完 备事件组备事件组. . 18 2.2.全概率公式全概率公式： 1 ( )() () n ii i P BP A P B A . . 3.3.贝叶斯公式：贝叶斯公式： 1 () () () () jj jn ii i P B A P A P A B P A P B A 19 题型一题型一 概率的概率的基本基本计算计算 【例【例】 _ABC A ABC B ABC CABAC DABAC 20 【 例 】【 例 】 事 件事 件,A B满 足满 足 1 ( )( ) 2 P AP B和和 ()1P AB 则有则有( )(
10、 ) （A A）AB （B B）AB （C C）()1P AB （D D）()0P AB 21 【例【例 1.21.2】设事件】设事件,A B互不相容互不相容, ,则（则（ ） 0A P AB B P ABP A P B 1C P AP B 1D P AB 22 【 例 】【 例 】 设设,YX为为2 2个 随 机 变 量 ， 且个 随 机 变 量 ， 且 3 0,Y0 7 P X , , 4 00 7 P XP Y则则 max,0 =_PX Y 23 【 例例1.151.15 】 设】 设,A B C是 随 机 事 件 ， 且是 随 机 事 件 ， 且 1 4 P AP BP C, , 1
11、6 P ACP BC, , 0P AB , ,求求,A B C都不发生的概率都不发生的概率 24 【 例 】【 例 】 ( )0.3,0.4,0.5P AP BP AB, , 则则 _P B AB 25 【例【例 1.281.28，Z Z】设相互独立的事件】设相互独立的事件 A,BA,B 都不发生都不发生 的概率是的概率是 1 9 ， 且， 且 A A 发生发生 B B 不发生的概率与不发生的概率与 B B 发生发生 A A 不发生的概率相等，求不发生的概率相等，求 A A 发生的概率发生的概率 26 【 例 】【 例 】 111 ( ), 432 P AP B AP A B, , 则则 _P
12、 AB 27 题型二题型二 三大概型三大概型 【例【例 1.1.1919】在区间在区间 -1,1之间任取两个数之间任取两个数,X Y， 则二次方程则二次方程 2 0tXtY有两个正根的概率为有两个正根的概率为 _ 28 【例例】设一厂家生产的每台仪器以概率】设一厂家生产的每台仪器以概率 0.70.7 可直可直 接出厂，以概率接出厂，以概率 0.30.3 需进一步调试，经调试后，需进一步调试，经调试后， 以概率以概率 0.80.8 出厂，以概率出厂，以概率 0.20.2 定为不合格，不能定为不合格，不能 出厂，现该厂生产了出厂，现该厂生产了(2)n n 台仪器台仪器( (设各台生产设各台生产 过程相互独立过程相互独立).).求求 (I)(I)所有机器都能出厂的概率所有机器都能出厂的概率 . . (II)(II)其中恰好有两件能出厂的概率其中恰好有两件能出厂的概率 . . (III)(III)至少有两件不能出厂的概率至少有两件不能出厂的概率 . . 29 题型三题型三 条件概率与独立性条件概率与独立性 【P17P17，2 2】已知】已知 01P B, , 1212 PAABP A BP A B , ,则下列选则下列选 项中正确的是（项中正确的是（ ） （A A） 1212 PAABP A BP A B （B B）
