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1、1.4.3 正切函数的性质与图象【教材分析】从本节课的标题可以看出教材的编排顺序是先研究性质再作图, 与传统编排方式相反. 应该说是新教材的一个创新之处. 一般来说, 对函数性质的研究总是先作图象, 通过观察图象获得对函数性质的直观认识, 然后再从代数的角度对性质作出严格表述.这一指导思想在“正弦函数、余弦函数的图象与性质”一节中已有体现. 若继续这种处理方式,学生运用知识的迁移也会学得很顺畅. 但是他们会限于一种机械模仿, 思维受限, 研究问题的渠道太单一. 于是, 编者们别有用心的改编了编排方式, 对传统教材了挑战, 反其道而行之. 正如数学所倡导的一题多解和殊途同归, 无论从图象到性质,
2、 还是从性质到图象, 最终得到完美的统一, 体现了数学的统一美.【学情分析】 学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验, 并已掌握了诱导公式、正切函数的定义、正切线等三角函数的基本知识, 这些为本节课的学习奠定了基础.然而, 脱离图象先研究性质对于学生是个难点. 特别是单调性, 学生一下子很难找准单调区间.为了突破这个难点, 制作了课件, 充分发挥多媒体辅助教学的优势。 当角度变化时直观显示正切线的大小变化. 给学生一种形象、直观的认识, 有了几何图形的依托和数值的辅助, 就可以让抽象的单调性在学生面前如栩栩如生的正切线动起来. 【教学目标】1、知识与技能：（1）用单位圆中的正切线
3、发现正切函数的有关性质，并利用性质作正切函数的图象； （2）用正切函数图象再次总结函数的有关性质.2、过程与方法：（1）会利用诱导公式、正切线研究正切函数的性质; （2）理解并掌握作正切函数图象的方法;（3）简单的运用函数性质解题.3、情感态度与价值观：培养学生观察、探索问题的能力. 【教学重点】正切函数的性质与图象.【教学难点】正切函数的性质的研究.【教学方法】教师启发、引导与学生自主探究相结合.【教学手段】多媒体辅助教学定义域【教学基本流程】验证性质探索猜想多媒体演示正 性切 质函 与数 图的 象利用正切线作图正切函数的图象正切函数的性质周期性值域奇偶性单调性利用正切曲线解三角不等式例题分
4、析利用单调性比较大小求定义域、周期、单调区间。【教学情景设计】问题设计意图师生活动时间1.前面，我们研究了正弦函数和余弦函数的图象和性质，下面我们用已有的经验来研究正切函数的性质与图象。 创设问题情境,通过回忆正弦函数和余弦函数的图象和性质的研究方法,引导学生联想正切线. 教师提问,学生回答: 先根据三角函数线画出图象再观察与研究他们的性质.2分钟2.你能类比正弦函数的性质，探索正切函数的性质吗？引导学生思考正切函数的性质.学生思考、讨论.2分钟3.能否用诱导公式求出正切函数的周期？它的最小正周期还是2吗？学生思维易受到正弦函数周期性的干扰，教师通过问题提醒学生反思自己的结论.学生用诱导公式求
5、周期，并回答。教师强调正切函数的周期是，而不是2.4分钟4.你能判断正切函数的奇偶性吗？引导学生利用奇偶性的定义并结合诱导公式判断正切函数的奇偶性.学生推导，教师点人回答.3分钟5.前面，我们是通过观察正弦函数的图象讨论它的单调性.如果没有图象，我们如何研究正切函数的单调性？你能找到它的一个单调区间吗？引发学生的认知冲突，对他们的学挑战.教师用“几何画板”动态演示正切线在第一象限的变化，引导学生观察角的大小与正切线大小之间的关系，得出在上正切函数递增.4分钟6.正切函数的周期是多少？是它的一个完整单调区间吗？启发学生结合周期进一步完善正切函数的单调区间.学生观察正切线的变化，分小组讨论并派代表
6、陈述自己的观点，教师纠正、补充.“几何画板”演示正切线在内的运动情况.观察及正切线的变化规律，验证学生的回答：是正切函数的一个增区间.3分钟7.你能找到正切函数的所有增区间吗？问题设计由简单到复杂，层层深入，突破难点，最终在教师的引导下让学生完整地概括出正切函数的增区间.教师引导学生利用周期性写出正切函数的增区间 .3分钟8.在内观察正切线，你能找到正切函数的最大值和最小值吗？直观利用正切线AT反映正切函数的值域.“几何画板”动态演示： 学生观察、感知正切函数的值域为R.2分钟9.你能仿照正弦函数的作图方法画出正切函数在内的图象吗？让学生根据已有经验独立研究正切函数在一个周期上的图象.学生先作
7、图，教师巡视.然后教师用“几何画板”演示作图过程.4分钟10.如何得到正切函数在整个定义域上的图象？从局部到整体来研究正切函数的图象.学生思考，教师点人回答，并归纳.最后，用“几何画板”演示.2分钟11.作出图象后，思考下列问题：从图象出发，讨论正切函数的性质，看与我们前面得到的性质是否一致；正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？利用性质，如何作出正切函数的简图？画出图象后对性质进行几何验证，巩固对性质的理解.这是学生易错的问题，引起他们的注意.引导学生把握图形特征，特别是渐近线.师生一起“看图说话”.学生讨论，回答，教师点评.3分钟12.例题分析利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小单
8、调性的运用.在同一单调区间，可直接比，否则，先用诱导公式转化到同一个单调区间.考查学生对诱导公式的活用和对单调性的理解.师生共同探讨，提问学生，让学生自主回答.3分钟观察正切曲线，写出满足条件的值的范围. 利用图象解简单的三角不等式，培养学生读图、试图和数形结合的能力.学生分小组回答，教师点拨、补充.3分钟求函数的定义域，周期，单调区间.换元思想的运用，既考查正切函数的定义域，又为后续求单调区间埋下伏笔.学生在下面做，教师选一位学生回答.4分钟13.通过本节学习你有哪些收获？让学生通过小结，反思学习过程，加深对正切函数性质和图象的理解.学生先思考，然后口头交流。教师适当引导，最后进行归纳总结：用正切线研究了正切函数的图象与性质会用单调性比较正切函数值的大小会用正切函数图象解简单的三角不等式.3分钟【教学板书设计】1.4.3正切函数的性质与图象1.正切函数的性质 例2 2.正切函数的图象 例3课时小结例1 推进学校内涵建设深化年各项工作和“三乐两校”主题教育活动的开展，进一步繁荣校园文化，搭建具有时代特征大学生特点的文化艺术活动平台，促进学院间师生的友谊5
