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1、数学思维能力培养系列谈正向思维与逆向思维 厦门第一中学 郑辉龙 姚丽萍一、正向思维与逆向思维正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。正向思维与逆向思维只是相对而言的，逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。听过“1美元”的故事吗？一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。看到这位气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢，赶紧招呼：“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？”“哦，我想借些钱。”“好啊，你要借多少？”“1美元。”“只需要1美元？”“不错，只借1美元，可以吗？”“当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。
2、”“那这些担保可以吗？”犹太人说着，从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。“喏，这是价值50万美元的珠宝，够吗？”“当然，当然！不过，你只要借1美元？”“是的。”犹太人接过了1美元和抵押凭证，就准备离开银行。在旁观看的分行行长十分纳闷，他急忙追上前去，对犹太人说：”先生，请等一下，假如您想借30万、40万美元的话，我们也会考虑的。”读者朋友，您知道哈德先生如何回答的吗？答案见本文结尾。正逆向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。数学知识本身就充满着正反两方面的转换。例如加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算；最大值与最小值
3、、函数与反函数、性质定理与判定定理等。两种思维的培养同样重要。事实上，一方面由于正向思维符合人们的常规习惯，显得亲切自然，大众化，因此只要开动脑筋，正向思维即自动成为默认的第一选择，教师的课堂教学及学生的问题思考同样习惯于正向思维，相对而言，逆向思维培养明显弱化。另一方面，事实证明，运用逆向思维，常常会取得意想不到的功效，这说明反向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。因此，本文重点谈谈逆向思维的培养。二、逆向思维培养示例1.新授课中的培养方式。（1）逆用定义。在概念教学中应让学生明白：所有定义都是“充分且必要”的，也就是说定义都具备“可逆性”，可以正反两用。案例1：解方程的结果是
4、( ）A. x=-1 B. x=0 C. x=1 D. x=2点评：人教版数学课本七年级（上）P81“解方程”的定义是：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。笔者曾经统计过，超过一半的学生是按照解方程的定义“求出”结果，仅有少数“偷懒”的学生逆用定义带入验证-观察口算即可获解。（2）逆用公式。在公式教学中应让学生明白：所有公式都是恒等式，都可以逆用。案例2：简便计算（1） （2）。点评：两道类型题摆在一起，明显结果是：学生做题（1）很顺，做题（2）困难，原因在于对平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)的逆用感觉“不习惯”。 （3）逆用法则。法则就是规律，中
5、学数学法则大多数是可以用等式表达的运算规律，同样关注其逆用。例如幂的运算法则用数学符号语言可表示为四个恒等式: aman= am+n, aman=am-n, (am) n=amn, (ab) m=ambm。案例3：（1）计算：（0.25）100（-2）200；（2）已知2m=a，32n=b，求23m+10n；（3）已知，求。点评：这里的三道小题，需要学生熟练地逆用上述四个法则。在试题命制中，经验告诉我们，凡仅仅顺用这些法则就够的题肯定是普遍都会的“送分题”，反之，只要涉及逆用这些法则的题都会成为有一定区分度的“中档题”。事实上，只要适度的训练，提升逆向思维能力，所谓中档题也是可以转化为送分题的
6、。 （4）注重逆命题教学。在逆定理教学中，首先让学生明白：不是每个定理都有逆定理的。最经典的是“对顶角相等”就没有逆定理。在此基础上，采用“矫枉过正”策略-偏重逆定理的应用。在定理（包括其他命题）的教学中，可经常设置逆命题类的问题，有助于提升学生逆向思维的意识。图1案例4：我们已经学习了三角形中位线定理，如果将定理中的部分条件和结论对调后成为逆命题，是否还成立呢？请分别判断以下两题的结论是否正确，如果正确，证明之；如果不正确，举一个反例说明。逆命题（1）：如图1，ABC中，如果点D是AB中点，DE交AC于E，DEBC，那么点E是AC中点，且DE=BC。逆命题（2）：ABC中，如果点D是AB中点
7、，DE交AC于E，DE=BC，那么点E是AC中点，且DEBC。点评：这是开放题，没有明确结论，需要学生自己判断；这是初中几何核心定理的逆命题；这是类型相同而结论不同的“题组题”，题（1）为真，可以证明，题（2）为假，可以举反例。同时，举反例训练也是培养逆向思维的重要手段。2.习题讲评课中的培养方式。 习题讲评，应该给学生展示思维的过程。在此，重点向学生讲清楚分析与综合的两种思维过程。所谓综合，是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即由因导果，是正向思维；所谓分析，是从“未知”看“须知”，逐步靠近“已知”，即执果索因，是逆向思维。 图2案例5：如图2，ABC中，B=2A，a、b、c分别是A、
8、B、C的对边，求证：b2=a2+ac。点评：已知中只有角的关系，没有任何边的关系，如何由“角”推向“边”？感觉很困难，正向的综合思维路难行。不妨用逆向的分析思维：要证：b2=a2+ac，只需：b2=a（a+c），只需：ba=（a+c）b，易知，线段比问题找相似，联想含b为公共边的“基本图形”（详见系列谈），故延长CB至D，使BD=BA，连DA，因此，只需：ABCDAC，因C已是公共角，所以，只需：CAB=D,贴近已知的“角”了。由于BD=BA，故DAB=D,所以，只需：CAB=CBA，其实，这就是已知条件-思路接通了。如果不细细展示分析思维，最关键的辅助项的添法学生会觉得莫名其妙。不过书写建议
9、还是以综合法表达妥当。对于解题思维中分析与综合的程序，牛顿说得好：“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，都是应当先用分析的方法，然后才用综合的方法”。前文指出，仅数学运算就有许多正反两向的互逆运算，现以“通分”为例，请看几道逆向思维训练示例。案例6：计算：。点评：这个过程是通分，逆过来这过程不妨称之为“裂项”，于是原式=，这就是“逆通分”的裂项相消法。类似的例子还有，化简：（原式=）。案例7：将分数按从小到大的顺序排列好。点评：分子的最小公倍数为较小的数60，故本题另辟蹊径“不通分母通分子”，轻松地比出大小。类似的例子还有，比大小：与，采用的策略是与“分母有理化”相反的“分子
10、有理化”，=，=，两数大小一目了然。案例8：化简：。点评：不用通常的整体通分，而是分三次“逐步通分”简便多了。类似的例子还有，化简：。采用的策略则是“分组通分”。3.复习课中的培养方式。 利用复习课，综合各种知识，介绍采用逆向思维的多种解题方法和策略。图3案例9：求证：是无理数。点评：采用反证法，证明不是有理数。案例10：如图3，已知E是正方形ABCD内部一点， ECD =EDC =15， 求证：ABE是等边三角形。点评：采用同一法：如图，在正方形ABCD内部取一点E，使ABE是等边三角形，连D E、C E，证点E与点E重合。类似例子还有勾股定理逆定理的证明等。 案例11：求使得关于x的方程a
11、x2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解的正整数a的值。点评：本题的主元无疑是x，正向思维则很容易走向求根公式或韦达定理，由于不确定有两个整数解，所以，尽管绞尽脑汁也是徒劳的。逆向思维，聚焦于所求的是a值！应用 “不求主元求辅元”的策略：易得a=，由正整数a1得 -3x1，依题意取整数x=-3,-1,0,1，所以正整数a=1或5。案例12：设为互不相等的非零实数，且，求证：。点评：看到已知条件中等量关系不少，大多数学生从正向思维出发，将连等式列成含三个方程的方程组，认为肯定可以直接求出的值，结果总是以失败告终。事实上，连等式是一个轮换对称式，只能列成含两个方程的不定方程组，在此，永
12、远无法直接求出的值。采用华罗庚教授教给青少年学生的一种解题策略：“退，退到不能退为止”。先退为二元问题：设为互不相等的非零实数，且，求证：。减元后容易多了：移项，得，去分母，得，由得，于是。原命题与此结构完全相同，用类似的方法“移项、去分母”就可得证。培养逆向思维的解题策略还有“直接不行改间接”。比如适合选择、判断、填空题型的特值排除法、极端值验证法以及割补法、换元法等。4.综合与实践课中的培养。逆向思维是反其道而行之的思考方式。反映了思维过程的间断性、突发性、反联结性, 是摆脱思维定势, 突破旧思想框架, 产生新思想, 发现新问题的重要思维方式。司马光砸缸-不能“让人离水”就“让水离人”，是
13、典型的逆向思维案例，曹冲称象也有异曲同工之妙。案例13：第二次世界大战后期，在攻打柏林的战役中，一天晚上，苏军必须向德军发起进攻。可那天夜里天上偏偏有星星，大部队出击很难做到保持高度隐蔽而不被敌人察觉。苏军元帅朱可夫思索了许久，猛然想到并做出决定：把全军所有的大型探照灯都集中起来。在向德军发起进攻的时刻，苏军的140台大探照灯同时射向德军阵地，极强的亮光把隐蔽在防御工事里的德军照得睁不开眼，什么也看不见，只有挨打而无法还击，苏军很快突破了德军的防线获得胜利。点评：既然无法让天色变暗，朱可夫元帅反过来在“亮”上做文章，同样达到让敌军“看不见”的目的。类似的案例有：问：让你从一把椅子下通过，你打算
14、怎样过去？答：将椅子举过头顶后昂首挺胸而过。逆向思维，出奇制胜。 案例14：聪明的猪。从前，有个叫二愣的养殖大户，一天，二愣要杀猪了。哪知那头猪刚被掀翻在地，就狠狠地咬了二愣一口，急急地跑进猪圈了。这还了得！二愣气呼呼地追进猪圈里，可是圈里有1000头猪，怎么认得出那头猪呢！“杀！”随着二愣一声吼，1000头猪全部被强行赶进屠宰场。“都杀了吗？”伙计们怯生生地问。“不。”二愣忽然想出个怪主意，“把这1000头猪排成一行，先杀第一头，然后隔一头杀一头；杀完第一遍后，还是原来的队形，再用同样的方法杀第二遍；这样一遍一遍地杀下去”二愣停了停说，“最后只留下一头猪。”二愣心想，1000头猪最后只留下一
15、头，看你还能活！哪里知道，这是一头聪明的猪，趁着混乱，它很快找到了避难的位置，居然躲过了这一刀。请问，这头猪到底排在什么位置上呢？点评：若正向思维，则写1000个数字，一笔一笔一次一次地划去奇数，够繁够乱的。倒过来想，这只聪明的猪最后一轮必在2号位，倒数第二轮必在4号位，倒数第三轮必在8号位，规律出来了，倒数n轮必在2n号位，由512=291000210=1024,得，这只聪明的猪排在512号位。类似的例子还有“睡莲满池问题”：池塘里的睡莲面积每天长大一倍。100天长满整个池塘，那么第98天长到（ ）个池塘？案例15：95名乒乓球运动员进行单淘汰赛,最后决出冠军,共需打多少场球?点评：常规解答要列许多行算式，还要考虑有人轮空。逆向思维，每场比赛淘汰1人，决出冠军，要淘汰94人，所以共需打94场球。规律：若有n人参赛，则共需打n-1场球。“1美元”故事中哈德先生的回答是“啊，是这样的：我来贵行之前，问过好几家金库，他们保险箱的租金都很昂贵。而您这里的租金很便宜，一年才花6美分。”类似的案例还有许多。比如：1985年的一天，英航排除各种声音，坚持按既定航班把仅有的一位乘客从东京运到伦敦。结果是该航空公司名声鹊
