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1、概率统计与随机过程知识总结第1章 随机事件及其概率一、随机事件与样本空间1、随机试验我们将具有以下三个特征的试验称为随机试验，简称试验，（1）重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；（2）多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知；（3）随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。随机试验一般用大写字母E表示，随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。2、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为S，样本空间中的元素，即E的每个基本结果，称为样本点。3、随机事件称随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。随机事件通常利用大写字母A、B
2、、C等来表示。在一次试验中，当且仅当这一子集（事件）中的某个样本点出现时，称这一事件发生。特别地，将只含有一个样本点的事件称为基本事件；样本空间S包含所有的样本点，它在每次试验中都发生，称S为必然事件；事件（）不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。4、随机事件间的关系及运算（1）包含关系：若，则称事件A包含事件B，也称事件B含在事件A中，它表示：若事件B发生必导致事件A发生。（2）相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为。（3）事件的和：称事件或为事件A与事件B的和事件。事件发生意味着事件A发生或事件B发生，即事件A与事件B至少有一件发生。类似地，称为n个事件的和事件，
3、称为可列个事件的和事件。（4）事件的积：称事件且为事件A与事件B的积事件。事件发生意味着事件A发生且事件B发生，即事件A与事件B都发生。简记为AB。类似地，称为n个事件的积事件，称为可列个事件的积事件。（5）事件的差：称事件且为事件A与事件B的差事件。事件发生意味着事件A发生且事件B不发生。（）（6）互不相容（互斥关系）：若，则称事件A与事件B互不相容，又称事件A与事件B互斥。事件A与B互不相容意味着事件A与B不可能同时发生。（7）互逆关系（对立关系）：若且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件，记为或。注意：事件A的对立事件记为；基本事件是两两互不相容的；对立事件与互
4、斥事件的关系：对立一定互斥，但互斥不一定对立。事件的运算满足的规律：交换律： ；结合律： ；分配律： ；对偶律： (德摩根律)二、随机事件的概率1、频率在相同的条件下，将一个试验重复进行n次，在这n次试验中，记事件A发生的次数为次，称比值为事件A在这n次试验中发生的频率，记为。频率描述了事件发生的频繁程度。频率所具有的三个性质：性质1：非负性 ；性质2：规范性 ；性质3：可加性 如果事件两两互不相容，则。2、概率的公理化定义设E是随机试验, S是它的样本空间, 对于E的每一事件A赋予一个实数, 记为P(A), 称为事件A的概率，且满足以下三条公理：非负性：对于任意事件A, 有P(A)0;规范性
5、：对于必然事件S, 有P(S)=1;可列可加性：设A1,A2,.是两两互不相容事件, 即对于ij, AiAj=f, i,j=1,2,., 则有P(A1A2.)=P(A1)+P(A2)+.3、概率的性质性质1 对不可能事件，有P()=0.性质2(有限可加性) 若A1,A2,.,An是两两互不相容的n个事件, 则有P(A1A2.An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)性质3(逆事件的概率) 对任意事件A, 有性质4 设A,B是两个事件, 若BA, 则有P(A-B)=P(A)-P(B) P(A)P(B)性质5 对于任意事件A, P(A)1性质6(加法公式) 对任意两个事件A,B有P(AB)=P
6、(A)+P(B)-P(AB)性质6的推论：性质6的推广：三、古典概率模型1、古典概率模型若随机试验满足下述两个条件：(1) 它的样本空间只含有有限个样本点，即基本事件数有限；(2) 每个样本点出现的可能性相同.称这种试验为古典概率模型，简称古典概型，又称为等可能概率模型。若事件A包含k个基本事件，即，则有四、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式1、条件概率设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1)为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.2、条件概率的性质条件概率具备概率定义的三个条件：（1）非负性：对于任意的事件B，；（2）规范性：；（3）可列可加性：设是两两互斥事件，则有：。3、乘法公式由条
7、件概率的定义： 即得乘法定理： 若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)； 若P(A)0 ，则P(AB)=P(A)P(B|A).乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况，设A、B、C为三个事件，且，且，一般地，设有n个事件并且，则由条件概率的定义可得：4、样本空间的划分定义：设S为试验E的样本空间, B1,B2,.,Bn为E的一组事件, 若（1）；（2）则称为样本空间的一个划分。5、全概率公式定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,.,Bn为S的一个划分，且则恒有全概率公式：6、贝叶斯公式定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,.,Bn为S的一个划分，且
8、则（贝叶斯公式）n=2时，两个公式的简化：全概率公式：贝叶斯公式：7、条件概率与积事件概率的区别表示在样本空间S中，AB发生的概率，而表示在缩小的样本空间中，B发生的概率，用古典概率公式，则， ，一般来说，比大。五、事件的独立性1、事件的相互独立性定义：设A，B是两事件，如果满足等式，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。说明： (1) 事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.(2) 两事件相互独立与两事件互斥的关系：两事件相互独立与两事件互斥二者之间没有必然联系（3）事件 A 、B独立的充要条件为： 或 三事件两两相互独立的概念定义：设是三个事件，
9、如果满足等式则称事件两两相互独立。三事件相互独立的概念定义：设是三个事件，如果满足等式则称事件相互独立。注意：三个事件相互独立 三个事件两两相互独立推广：设是n个事件，如果对于任意，任意，具有等式，则称为相互独立的事件。结论：若事件相互独立，则其中任意个事件也是相互独立的。2、几个重要定理定理一：设是两事件，且，若相互独立，则反之亦然。定理二：若相互独立，则下列各对事件，与，与，与也相互独立。推广：n个事件相互独立，则将中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。3、事件的独立性在可靠性问题中的应用所谓系统（元件）的可靠性是指系统（元件）正常工作的概率。补充：排列与组合知识1、
10、加法原理设完成一件事有m种方式，第i 种方式有ni 种方法，则完成这件事共有: n1n2nm 种不同的方法。2、乘法原理设完成一件事有m个步骤，第i 种步骤有ni 种方法，则完成这件事共有: n1n2 nm 种不同的方法。3、排列公式（1）从n个不同元素中不放回（不重复）地选取m个元素进行排列，称为选排列，则所有不同排列的总数为：（2）当n=m 时，称为全排列，其计算公式为：（3）有重复排列: 从n个不同元素中有放回（可重复）地取m个元素进行排列，称为可重排列，其总数为 nm 。4、组合公式（1）从n个不同元素中不重复地选取m个元素，组成一组(不管其顺序)，称为从n个不同元素中选取m个元素的组
11、合。则所有不同组合的总数为：选排列与选组合的关系： 说明：选组合也等价于：如果把n个不同的元素分成两组，一组m个，另一组n-m个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法的总数为：（2）多组组合：把n个不同元素分成k 组(1 k n) ，使第 i 组有ni 个元素，若组内元素不考虑顺序，那么不同分法的总数为：（3）常用组合公式：，第2章 随机变量及其分布一、随机变量1、随机变量的概念定义：设E是随机试验，它的的样本空间为S=e. 如果对于每一个有一个实数X(e)与之对应，这样X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数. 称X=X(e)为随机变量.说明：(1)随机变量与普通的函数不同；(2)随机变量
12、的取值具有一定的概率规律； (3)随机变量与随机事件的关系2、随机变量的分类(1)离散型：随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量.(2)连续型：随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.二、离散型随机变量的概率分布1、离散型随机变量的分布律定义：设离散型随机变量X所有可能取的值为xk(k=1,2,.), X取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率，为PX=xk=pk, k=1,2,.，称此为离散型随机变量X的分布律。说明：（1）； （2）离散型随机变量的分布律也可表示为：Xx1x2.xn.pkp1p2.pn.2、常见离散型随机变量的概率分布 （1
13、）两点分布设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为：X01pk1-pp则称 X 服从 (01) 分布或两点分布.（2）等可能分布如果随机变量 X 的分布律为：.其中（），（），则称X服从等可能分布.（3）二项分布n 重伯努利试验：设实验E只有两个可能结果：及，则称E为伯努利试验。设，此时，将E重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则=，k=0,1, .，n得X的分布律为：01.k.n.称X 服从参数为n和p的二项分布，记为Xb(n,p)显然：注意：当n=1时，二项分布就是(0-1)分布Possion定理设，则对固定的
14、 k，Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而适中, 则可以用近似公式：（4）泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：其中0 是常数,则称 X 服从参数为的 泊松分布,记作X().（5）几何分布若随机变量 X 的分布律为：12.k.其中，则称 X 服从几何分布。说明：几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.三、随机变量的分布函数1、分布函数的概念定义：设 X 是一个随机变量，x是任意实数，函数为 X 的分布函数。性质：（1）；（2）；（3），；（4），即任一分布函数处处右连续，重要公式（1）； （2）四、连续型随机变量及其分布1、概率密度的概念与性质定义：如果对于随机变量 X的分布函数F（x），存在非负函数，使得对于任意实数x有则称X为连续型随机变量，其中f (x)称为X 的概率密度函数，简称为概率密度。性质：（1
