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1、大学物理练习册振动 1 11-1 一物体作简谐运动的曲线如图 11-1 所示，试求其运动方程。 解解：设振动方程为)cos(tAx，m104 2 A 由旋转矢量法知 4 3 ， 25 . 0 4/ ， ) 4 3 2 cos(104 2 tx 11-2 一质量为 0.02kg 的弹簧振子沿 x 轴作谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s。当 t0 时，振子位于 0.06m 处，并向 x 轴正方向运动，试求： （1）试用旋转矢量法确定初位相并写出运动方程； （2）t0.5s 时的位置， 速度和加速度； （3）从 x0.06m处向 x 轴负方向运动再回到平衡位置所需时间。 解解： （1）由旋转矢
2、量法知 3 ， 2 22 T ， ) 3 cos(12. 0 tx （2）) 3 sin(12. 0 dt d t x v，) 3 cos(12. 0 dt d 2 t v a s5 . 0t，m1039. 0x，m/s1885. 0v， 2 m/s03. 1a （3）s 6 56/52/3/ t 11-3 如图 11-3 所示，水平轻质弹簧一端固定，另一端所系轻绳绕过一滑轮垂挂一质量为 m 的物体。若弹 簧劲度系数为 k，滑轮半径为 R，转动量为 J。 （1）证明物体作简谐振动； （2）求振动周期； （3）设 t 0 时弹簧无伸缩，物体由静止下落，写出物体的运动方程。 解解： （1）取系统的
3、静平衡位置为坐标原点，向下为正。 弹簧的初始变形量 k mg x 0 。 分别取重物、滑轮和弹簧为研究对象，则有 2 2 1 d d t x mTmg， R tx JRTT 22 21 d/d ,)(，)( 02 xxkT 由上述方程可解得：0 /d d 22 2 x RJm k t x 所以物体作简谐振动。 （2） 2 / RJm k ， k RJm T 2 / 2 2 （3）0t，0 0 v， k mg xA 0 ，。) / cos( 2 t RJm k k mg x 11-4 一质量为 m的小球在一个光滑的半径为 R 的球形碗底作微小振动， 如图 11-4 所示。 设 t0 时，0， 小
4、球的速度为 v0，并向右运动。求在振幅很小的情况下，小球的运动方程。 解解：在切向应用牛顿定律 0.5 4 图 11-1 O x /cm t /s 22 m 图 11-3 大学物理练习册振动 2 2 2 d d sin t mRmamg t ，sin，0 d d 2 2 R g t 设运动方程为 )cos(t m ， 0t，0，且向右运动 2 。 gR v Rg Rv m 0 2 0 2 2 02 0 / )/( 0 ) 2 cos( 0 t R g gR v 11-5 一弹簧振子作简谐振动， 振幅 A0.20m， 如果弹簧的劲度系数 k2.0N/m， 所系的物体质量 m0.50kg， 求：
5、（1）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？（2）设 t0 时，物体在正最大位移处，则在一 个周期内达到动能和势能相等处所需的时间是多少？ 解解： （1） 22 4 1 2 1 2 1 kAEkxEP， 22 2 1 Ax ，m14. 0 2 2 . 0 2 A x （2）s/12 5 . 0 0 . 2 m k 。 t 4 1 ，s39. 0 1 t； 4 3 2 ，s18. 1 2 t； 4 5 3 ，s96. 1 3 t； 4 7 4 ，s75. 2 4 t； 11-6 质量为 0.01kg 的物体，以振幅 1.010 2m作简谐运动，其最大加速度为 4.0ms2。求： （1）振动的周
6、期； （2）物体通过平衡位置时的总能量和动能； （3）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能和势能 各占总能量的多少？ 解解： （1） 2 Aam，/s120 101 0 . 4 2 A am ，s314. 0 20 22 T （2）在平衡位置 J100 . 2)20100 . 1 (01. 0 2 1 )( 2 1 2 1 42222 AmmvEE mk （3）EkA A kkxEP 4 1 2 1 4 1 ) 2 ( 2 1 2 1 222 ，EEk 4 3 11-7 两个同方向的简谐振动，其运动方程分别为 ) 4 3 10cos(05. 0 1 tx，) 4 1 10cos(06. 0 2
7、 tx （1）求它们合成振动的振幅和初相位； （2） 若另有一振动)10cos(07. 0 33 tx， 则3为多少时， x1+x3的振幅最大？又3为多少时， x2+x3 的振幅最小？ 解解： （1）)cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA O R 图 11-4 大学物理练习册振动 3 图 11-9 x1(t) x2(t) O A2 x t A1 x1(t) x2(t) O A2 x t A1 （a） （b） m078. 0) 4 3 4 cos(06. 005. 0206. 005. 0 22 00.11 4 cos06. 0 4 3 cos05. 0 4 sin06. 0 4 3
8、 sin05. 0 coscos sinsin tan 2211 2211 AA AA ，rad48. 18 .84 （2）k2 13 ， 4 3 2 3 k，2, 1, 0k； ) 12( 23 k， 4 5 2 3 k，2, 1, 0k。 11-8 有两个同方向同频率的简谐运动，其合成振动的振幅为 0.20m，合振动的相位与第一个振动的相位差 为/6，第一个振动的振幅为 0.173m，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。 解解：01. 030cos2 . 0173. 022 . 0173. 0 6 cos2 22 1 22 1 2 2 AAAAA，m1 . 0 2 A )cos(2 122
9、1 2 2 2 1 2 AAAAA 0 1 . 0173. 02 )1 . 0173. 0(2 . 0 2 )( )cos( 222 21 2 2 2 1 2 12 AA AAA ， 2 12 。 11-9 图 11-9 表示两个同方向、同频率的简谐振动曲线，其频率为 ，分别求出（a）和（b）情形时： （1） 合振动振幅； （2）合振动的振动方程。 解解：(a) 12 ，| 12 AAA，)() 2 cos(| 1212 AAtAAx (b) 2 12 ， 2 2 2 1 AAA， 2 11 tan A A ，)tancos( 2 112 2 2 1 A A tAAx 11-10 质量为 0.
10、4kg 的质点同时参与相互垂直的两个谐振动： ) 63 cos(08. 0 1 tx，) 33 cos(06. 0 2 tx 求： （1）质点的轨迹方程； （2）质点在任一位置所受的力。 解解： （1）设 )cos( 11 tAx，)cos( 22 tAy，消去t得 大学物理练习册振动 4 )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 将08. 0 1 A，06. 0 2 A， 6 1 ， 3 2 代入上式，则 1 06. 008. 0 2 2 2 2 yx 正椭圆 （2）xmtmAmaF xx 22 1 ) 6 cos( ，ymFy 2 rrrmj yi xmjFiFF yx 44. 0 3 4 . 0)( 2 2 22
