极限导数积分计算

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1、一. 函数的极限的计算 1) 初等函数在定义区间内处处连续: 若存在, 则有. 2) 变量代换: 设(), 若, 则有 3) 的充要条件为: . 4) 的充要条件为: . 5) 极限的四则运算. 6) “”,“”型洛必达法则.例1. 设, 则为( ).A. 有界函数; B. 偶函数;C. ; D. .解题提示: 1) 为奇函数.2) 时, , .3) .例2. 下列各式中不正确的是（ ）.A. ; B. ; C. ; D. .例3. 求.解题提示: 计算左右极限.洛必达法则是计算极限的有效方法.例4. 计算下列极限: 1) ; 2) ; 3) ;4) ; 5) .解题提示: 5) 令; 或.例

2、5. 若, 计算.解题提示: .极限计算中无穷小的处理:在乘除运算中, 极限值不为0的因子先算出, “0因子”作等价无穷小代换, “0根式”有理化.例6. 计算.解: (代入, 此式为 “”型) (“0根式”有理化) (乘除运算中“非0 因子”先算出, “0因子”作等价无穷小代换) (洛必达法则) (洛必达法则) (初等函数在定义区间内处处连续. )例7. 计算下列极限:1) ; 2) ; 3) .例8. 计算.解题提示: 令,.例9. 已知, 求.解题提示: 利用等价无穷小代换计算左式.极限计算中无穷大的处理:“根式”有理化. “三角无穷大”的导数仍然为无穷大, “三角无穷大”要先变.求时的

3、极限, 分子, 分母同时除以分子, 分母中的最高次幂(“抓大头”方法中的“大头”). 所谓 “抓大头”就是抓住关于的最高次的项, 而把其余的项略掉.如.例10. 计算下列极限:1) ; 2) ;3) ; 4) .在计算极限时, 洛必达法则不要“滥用”.例11. 计算.解题提示: 用洛必达法则, 观察会出现怎样的情形.例12. ( ).A. B. 不存在 C. D. 解题提示: 1)分析以下错误运算:.2) 分析以下错误运算:.例13. 求.解题提示: 1) 先多次用洛必达法则, 观察会出现怎样的情形.2) (为正数), 当时, 可认为为的无穷大次幂, 为的0次幂.3) 分子, 分母同时除以分子

4、, 分母中的最高次幂, 即用“抓大头”方法.例14. 求.解题提示: 1) 试用洛必达法则看看. 2) 令.(“”型)极限计算法: .其中的“”型, 也可用配法: 设, , 则 .例15. 计算下列极限:1) ; 2) ; 3) .利用导数定义式计算极限例16. 设在处可导, 且, 求.解题提示: 利用配法, 计算.例17. 设在点处有二阶导数, 求极限 .解题提示: 先用一次洛必达法则.注意: 因二阶导数在点处连续性不知, 不可再次用洛必达法则.解: .利用中值定理计算极限例18. 计算下列极限:1) ;2) .解题提示: 1) 对函数在上用拉格朗日中值定理, . 2) 利用积分中值定理,

5、.利用麦克劳林公式计算极限例19. 计算下列极限: 1) ; 2) . 解: 1) , , , ,. 2) ,.二. 导数与微分的计算 1) 四则运算求导公式. 2) 复合函数求导公式: . 3) 微分计算公式: . 注意: 微分等式中变量可用任意可导函数作代换.4) 参数方程求导公式: , .5) 隐函数求导法: 方程两边同时对求导, 注意中为中间变量.6) 幂指函数求导公式: .7) 取对数求导法: 设, 则有 8) 设为连续函数, 则有.9) 设为连续函数, 可导, 则有变限积分函数求导公式例1. 设 则_ .例2. 设可导，则_ .例3. 设，当时，_ .解题提示: 自变量的微分等于自

6、变量的增量, 即.例4. 设，求.例5. 设为连续函数, 且, 则_.例6. 求, 其中为已知的连续函数.解题提示: .例7. 求, 其中为已知的连续函数.解题提示: 令, . 例8. 设, 则_.解题提示: .例9. 若, 在内, 则在内( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) .解题提示: 为偶函数. 试证明:1) 可导偶函数的导数为奇函数; 2) 可导奇函数的导数为偶函数.例10. 设函数由方程确定, 其中具有二阶导数, 且, 求.例11. 设, 求.解题提示: .例12. 设 其中具有二阶导数, 且, 求.高阶导数与泰勒公式 1) 莱布尼兹公式: . 2) 函数在点处带拉格朗日

7、型余项的阶泰勒展开式:其中, , 即介于与之间. 当时, 称麦克劳林公式. 3) 函数在点处带皮亚诺型余项的阶泰勒展开式:例13. 求下列函数的阶导数:1) ;2) ;3) ;4) .5) .解: 4) , .例14. 求函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.例15. 求函数在点处带皮亚诺型余项的5阶泰勒展开式. 例16. 设, 则_.解题提示: , .例17. 求函数在处的阶导数.解题提示: 1) 利用莱布尼兹公式 .2) 利用及麦克劳林公式.解: , , .例18. 设, 求.解题提示: .例19. 设, 求.解题提示: 建立递推公式.三. 不定积分的计算:1. 常用公式:; ; ;

8、; .2. 分项法: 通过代数或三角恒等变形把所给不定积分化为基本积分公式中的积分或常见的积分类型.例1. 计算下列不定积分:1) ; 2) ; 3) .3. 第一换元法(凑微分法): 设为的原函数, 可导, 则有 凑微分: . 换元: 中换为如何确定中间变量? A) 从被积函数明显的复合部分去确定. B) 通过凑微分确定. C) 从被积函数中复杂的部分去确定. 例2. 计算下列不定积分:1) ; 2) ; 3) ;4) ; 5) ; 6) ;7) ; 8) .解题提示: 8) .4. 第二换元法(积分变量代换法): 设单调可导, 则有 . 积分变量代换法常见的有:1) 作三角代换去根式.2)

9、 作三角代换去根式.3) 作三角代换去根式.4) 作根式代换, .5) 对三角函数有理式作万能代换化为的有理式, 其中有, , . 作万能代换计算, 时常较繁, 不要滥用.例3. 计算下列不定积分: 1) ; 2) ; 3) ;4) ; 5) ; 6) .例4. 求.解题提示: , 作代换.5. 分部积分法: . 常见类型有: 1) , , . 取. 2) , 等. 取. 3) , . 用分部积分法 “回归”.例5. 计算下列不定积分:1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9).例6. 求.解题提示: 1) 令.2) 分部积分回归法.例7. 求.解题提

10、示: 1) 分部积分法: .2) 令.例8. 求.解题提示: 令. 例9. 求.解题提示: 1)分部积分回归法.2) .注: 凑微分是计算积分的首要过程, 是求导的逆运算, 第一换元法是复合求导的逆运算, 是积出积分的重要一环; 分部积分法是 “乘积”求导的逆运算, 是计算积分的一种过度性的主要手段, 灵活多变, 初学时不易掌握. 切记: 初等函数并不是都能 “积得出”, 不常见的积分题, 计算当中会出现 “恰好”之处. 例10. 求.解题提示: 1) .2) 分项 . 例11. 求.解: .例12. 求.解: . 6. 特殊积分举例例13. 求解题提示: .例14. 求.解题提示: .例15

11、. 求.解题提示: .例16. 求, .解题提示: 1) ;2) .例17. 求.解题提示: 1) 令. 2) . 化分母为单项, 用此法可计算:, 等.例18. 求, .解题提示: ,.例19. 求.解题提示: .例20. 求.解题提示: .例21. 求.解题提示: 1) 降幂法 .2) 分部积分回归法, 建立递推公式: ,.例22. 求.解题提示: .四. 定积分与广义积分的计算 1. 牛顿莱布尼兹公式设在上连续, 且, 则有. 2. 定积分的分部积分公式 设在上连续, 则有.3. 定积分的换元法设在上连续, 在上单值连续可导, 当在上变化时,在上变化, 且, 则有 .例23. 计算下列定

12、积分:1) ; 2) ;3) ; 4) .例24. 计算.解题提示: 1) 令.2) 记, 则有.例25. 计算.解题提示: 令.例26. 计算.解题提示: 令.例27. 已知, 且, 求.解: 4. 对称区间上的积分设在上连续, 则有 1) 当是奇函数时, ;2) 当是偶函数时, .例28. 计算.例29. _.例30. 设, , 则有( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) .解题提示: , , .5. 分段函数的积分例31. 设函数在内满足, 且, 计算.解题提示: 当时, ,当时, .例32. 设平面上有正方形及直线. 若表示正方形位于直线左下方部分的面积, 试求().解题提示: .例33. 计算.解题提示: . 6. 广义积分的计算例34. 计算.解题提示: .例35. 计算.解题提示: .例36. 计算.解题提示: 令.例37. 计算.解题提示: 1) 设在内有一瑕点, 则, 其中, .2) 此题被积函数的原函数为.3) 思考: 原积分为何不对?推进学校内涵建设深化年各项工作和“三乐两校”主题教育活动的开展，进一步