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1、极坐标与参数方程综合运用题型(一)【题型分析】题型一 圆上的点到直线距离的最值【例1】已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为=2cos(),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值解:()即2=2(cos+sin),x2+y22x2y=0,故C2的直角坐标方程为(x1)2+(y1)2=2()曲线C1的参数方程为,C1的直角坐标方程为,由()知曲线C2是以(1,1)为圆心的圆,且圆心到直线C1的距离,动点M到曲线C1的距离的最大值为【变式实践1】1已知曲线C1:,曲线:(t为参数)(I)化C1为
2、直角坐标方程,化C2为普通方程;(II)若M为曲线C2与x轴的交点,N为曲线C1上一动点,求|MN|的最大值解:(I)曲线C1的极坐标化为2=2sin,又x2+y2=2,x=cos,y=sin所以曲线C1的直角坐标方程x2+y22y=0,因为曲线C2的参数方程是,消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y8=0(II)因为曲线C2为直线,令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0)曲线C1为圆,其圆心坐标为C1(0,1),半径r=1,则 ,|MN|的最大值为2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线的极坐标方程为:,曲线C的参数方程为:(为参数)(I)写出直线的直角坐
3、标方程;()求曲线C上的点到直线的距离的最大值解:(1)直线l的极坐标方程为:,(sincos)=,xy+1=0(2)根据曲线C的参数方程为:(为参数)得(x2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,曲线C上的点到直线l的距离的最大值=3已知在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程是(t是参数),以原点O为极点,Ox为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线上的点向圆C引切线,求切线长的最小值解:(1)由圆C的极坐标方程=2cos(+),化为,展开为2=,化为x2+y2=平方为=1,圆心为(2)由直线l上的点向圆
4、C引切线长=5,由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为5题型二 利用三角函数求最值【例2】在直角坐标系xOy中,直线l的方程为xy40,曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值解:(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标得P(0,4),P(0,4)满足方程xy40,点P在直线l上(2)因为点Q是曲线C上的点,故可设点Q的坐标为(cos ,sin ),所以点Q 到直线l的距离d(R)则当cos1时,d取得最小值
5、.【变式实践2】1在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为: (为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值解:(1)cos ,x2y2x,即(x)2y2.(2)设P(2cos ,sin ),易知C2(,0),|PC2|,当cos 时,|PC2|取得最小值,|PC2|min,|PQ|min.2在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C1的极坐标方程为,直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直
6、线l的直角坐标方程;(2)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线距离的最小值解:(1)C1:x22y22,l:yx4.(2)设Q(cos ,sin ),则点Q到直线l的距离d,当且仅当2k(kZ),即2k(kZ)时取等号3以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线C的参数方程为(是参数),直线l的极坐标方程为cos2.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)设点P为曲线C上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值解:(1)直线l的极坐标方程为cos2,2,xy2,即直线l的直角坐标方程为xy40.由得1,即曲线C的普通方程为1.(2)设点P(2cos ,s
7、in ),则点P到直线l的距离d,其中tan .当cos()1时,dmax,即点P到直线l的距离的最大值为.4已知曲线C:1,直线l:(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|,则|PA|5sin()6|,其中为锐角,且tan .当sin()1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin()1时,|PA|取得最小值,最小值为.5在直角坐标系
8、xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos.(1)求直线l被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求xy的最大值解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去t,可得3x4y10.由于 cos ,即有2cossin ,则有x2y2xy0,其圆心为,半径为r,圆心到直线的距离d,故弦长为22 .(2)可设圆的参数方程为(为参数),即M,则xycos sin sin,由于 R,则xy的最大值为1.6(2015新乡许昌平顶山第二次调研)已知直线l:(t为参数),曲线C1: (为参数) (1)设l与C1相交于A,
9、B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值解:(1)l的普通方程为y(x1),C1的普通方程为x2y21.联立方程,解得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|1.(2)C2的参数方程为(为参数)故点P的坐标是.从而点P到直线l的距离d,当sin1时,d取得最小值,且最小值为(1)题型三 根据最值求点坐标【例3】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角
10、坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P坐标解:(1)曲线C1的参数方程为(为参数),则由sin2+cos2=1化为+y2=1,曲线C2的极坐标方程为sin(+)=4,即有sincos+cossin=4,即为直线x+y8=0;(2)设P(cos,sin),则P到直线的距离为d,则d=,则当sin()=1,此时=2k,k为整数,P的坐标为(,),距离的最小值为=3【变式实践3】1在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为.(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到
11、圆心C的距离最小时,求P的直角坐标解:(1)由2sin ,得22sin ,从而x2y22y,所以x2(y)23.(2)设P,又C(0,),则|PC|,故当t0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0)2在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,.()求曲线的直角坐标方程;()在曲线上求一点,使它到直线:(为参数,)的距离最短,并求出点的直角坐标.()解:由,可得,因为,所以曲线的普通方程为(或)()解法一:因为直线的参数方程为(为参数,),消去得 因为曲线是以为圆心,1为半径的圆,因为点在曲线上,所以可设点所以点到直线的距离为因为,所以
12、当时,此时,所以点的坐标为解法二:因为直线的参数方程为(为参数,),消去得直线的普通方程为 因为曲线:是以为圆心,1为半径的圆,设点,且点到直线:的距离最短,所以曲线在点处的切线与直线:平行即直线与的斜率的乘积等于,即因为,解得或所以点的坐标为或 由于点到直线的距离最短,所以点的坐标为 3已知曲线C1:,(为参数),C2:,(为参数)()化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;()若C1上的点P对应的参数为=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:,(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标解:()据题,由曲线C1:,(为参数),得(x+4)2+(y3)2=1,它表示一个以(
13、4,3)为圆心,以1为半径的圆,由C2:,(为参数)得,它表示一个中心为坐标原点,焦点在轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆,()当时,P(4,4),Q(8cos,3sin),故M(2+4cos,2+sin),由直线C3:,(t为参数),得x2y7=0,它表示一条直线,M到该直线的距离为:d=|5cos(+)13|,(其中sin=,cos=),当cos(+)=1时,d取最小值,从而,当sin=,cos=,时,d有最小值,此时,点Q(,)【强化训练】1在极坐标系中,已知圆C的圆心C(,),半径r=()求圆C的极坐标方程;()若0,),直线的参数方程为(t为参数),直线交圆C于A、B两点,求弦长
14、|AB|的取值范围解:()C(,)的直角坐标为(1,1),圆C的方程为(x1)2+(y1)2=3化为极坐标方程是22(cos+sin)1=0()将代入圆C的直角坐标方程(x1)2+(y1)2=3,得(1+tcos)2+(1+tsin)2=3,即t2+2t(cos+sin)1=0t1+t2=2(cos+sin),t1t2=1|AB|=|t1t2|=20,),20,),2|AB|2即弦长|AB|的取值范围是2,2)2在以直角坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线C1的方程是=1,将C1向上平移1个单位得到曲线C2()求曲线C2的极坐标方程;()若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M,N,切点为T,求|TM|TN|的取值范围解:(I)曲线C1的方程是=1,即2=1,化为x2+y2=1,将C1向上平移1个单位得到曲线C2:x2+(y1)2=1,展开为