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1、机械振动习题解答（四）连续系统的振动连续系统振动的公式小结：1 自由振动分析杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程此式为一维波动方程。式中，对杆，y为轴向变形，；对轴，y为扭转角，；对弦，y为弯曲挠度，。令，Y(x)为振型函数，代入式(1)得式(2)的解为将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率n，及对应的振型函数Yn(x)。可能的边界条件有类似地，梁的弯曲振动微分方程振型函数满足式(6)的解为梁的弯曲挠度y(x, t)，转角，弯矩，剪力。所以梁的可能的边界条件有2 受迫振动杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为下面以弦为例。令，其中振型函数Yn(x)满足式(2)和式(3)。
2、代入式(9)得考虑到式(2)，式(10)可改写为对式(11)两边乘以Ym，再对x沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得当简谐激励时，式(12)的稳态响应解为全响应解为当阶跃激励时，式(12)的解为类似地，梁的弯曲振动微分方程令，代入式(13)，经过一系列处理，得-我是分割线-解题步骤1 自由振动分析按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数；写出边界条件；把振型函数代入边界条件，消去待定系数，得到频率方程。2 受迫振动分析写出激励f (x, t)的表达式；通过以上自由振动分析的步骤得到振型函数Yn(x)；计算Qn(t)和b，得到式(12)或(14)，求解主坐标n(t)。-我是分割线-8.1
3、 求阶梯杆纵向振动的频率方程。解：振型函数：，其中边界条件： 连续性条件：式代入式得式代入式得所以频率方程即-我是分割线-8.2 长度为L、惯性矩为Is的轴两端各带有惯性矩为I0圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在IsI0的情形下校验频率方程的正确性。解：设扭转角。边界条件：所以式中，因为。而振型函数Q(x)满足，其中式代入式得二式联立得频率方程当IsI0时，轴的惯性矩可忽略，相当于两端自由的两圆盘扭振系统（类似于课本p63例3-8，但边界条件不同），这是一个二自由度的扭振系统，用视察法可写出其微分方程为，其中为圆轴的扭转刚度。其特征方程为，可得，。而此时式左边，右边，所
4、以，即，且，与圆盘扭振系统的频率吻合。-我是分割线-8.3 长度为L的轴一端固定，另一端自由，扭矩T0sint施加于自由端，求轴的稳态响应。设轴截面的抗扭刚度为GIp，密度为。解：设稳态响应为。边界条件：所以而Q(x)满足，其中式代入式得所以振型函数稳态响应-我是分割线-8.4 初始状态静止，长度为l、两端固定、张力为T的弦中央受一阶跃力P作用，计算弦在P力作用下的振动位移响应。解：（首先进行自由振动分析。）振型函数，其中边界条件式代入式得所以振型函数为（再进行受迫振动分析。）微分方程设响应，其中振型函数。于是所以主坐标n(t)满足已知单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应，即方程的解为所以式的解
5、为系统响应-我是分割线-8.5 当集中载荷P以速度v在长度为l的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。设t = 0时梁处在静止状态，且P位于梁左端。解：（首先进行自由振动分析。）振型函数其中边界条件式代入式得振型函数（再进行受迫振动分析。）微分方程设响应，其中振型函数。于是所以主坐标n(t)满足相当于单自由度系统受简谐激励的响应，所以式的解为（注：此为包含特解和通解的全响应）系统响应-我是分割线-注：在8.4和8.5题的受迫振动分析时，振型函数都写为，而不是。事实上，不论Cn取任何值都不会影响最后的结果。所以为了计算简便，既可以令Cn=1，也可以令，而求出Cn。推进学校内涵建设深化年各项工作和“三乐两校”主题教育活动的开展，进一步繁荣校园文化，搭建具有时代特征大学生特点的文化艺术活动平台，促进学院间师生的友谊
