第三章-刚体和流体的运动

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1、1,本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。,核心内容：,刚体的转动惯量,定轴转动的转动定理,定轴转动的功能原理,定轴转动的角动量守恒,这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。,2,一. 刚体力学中物体的一种理想模型。,刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。,实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体视为刚体。,(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。,(b)刚体有确定的形状和大小。,(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。,无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形状都始终保持不变。,刚体的特征：,3-1 刚体模型及其运动,3,二. 刚体的平动和转动,如果刚体在运动中,

2、刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。,在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此 平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来 代表整个刚体的平动。,比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动 还是转动？,4,刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般运动可看作是平动和转动的结合。,如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动的,就称为定轴转动。,刚体在作定轴转动时,由于各质点到转轴的距离不同,所以各质点的线速度、加速度一般是不同的。,二.定轴转动的描述,但由于各质点的相对位置保持不变, 所以描述各质点运动的

3、角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一样的。,5,1 描述定轴转动刚体的运动的角量,角坐标：,角位移：,单位：rad,角速度,方向：,与转向成右手螺旋关系。,6,角加速度,角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐标对时间 t 的二次导数。,单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2,方向：角速度变化的方向。,7,对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？,2 线量与角量之间的关系,刚体转过,刚体上的一点位移,线位移和角位移的关系,8,速度与角速度之间的关

4、系,加速度与角加速度之间的关系,将质点的加速度可分解为切向加速度和法向加速度.,将,式两边同除,9,由,若角加速度 =c(恒量)，则有,10,例31 一飞轮转过角度和时间关系为,式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。,解：飞轮角速度表达式,角加速度是角速度对时间的导数表达式,可见飞轮在作变速转动。,11,决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目，叫做这个系统的自由度数 。,三. 自由度,意义：物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式。,例如： 一个质点在三维空间自由运动时，决定其空间位置需三个独立坐标，如直角坐标系的x，y，z，因此，自由质点的自由度为3，这三个自由度叫

5、平动自由度,12,对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角、，但、之间存在关系式cos2+cos2+cos2=1，即、三者中只有两个是独立的，因而，决定刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕转轴转过的角度，故自由刚体的转动自由度为3，总自由度为6,问题： 定轴转动刚体的自由度是多少？,答案：1,13,3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定理,一.力矩,力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。,力的大小、方向和力

6、的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。,14,力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示,15,力矩有大小和方向,是矢量,力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示。,M方向垂至于r和 F 所构成平面。由右手螺旋法则确定。,16,对各质点求和，并注意到,按质点角动量定理，有,mi：,得,二 定轴转动定律,17,式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量定理。 显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。,18,上式称为物体定轴转动方程。 对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(4-7)又可写成,上式是一矢量

7、式, 它沿通过定点的固定轴z方向上的分量式为,这就是刚体定轴转动定律，它是刚体定轴转动的动力学方程 。,(3-4),(3-3),(Lz=J),19,2 当 一定时，,是刚体转动惯性大小的量度,注意：,1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是 力矩，而不是力！,如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速 度一定大，则错。,20,2 为瞬间作用规律。,一旦 ，立刻 ，匀角速度转动。,3 和 ，均对同一转轴而言。,4 代表作用于刚体的合外力矩，,特别强调：系统所受合外力为零，,一对力偶产生的力矩不为零。,以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问题的方法。,21,

8、质量m物体平动惯性大小的量度。 转动惯量J物体转动惯性大小的量度。,三 转动惯量,1.转动惯量的物理意义,22,J=mi ri2 (3-6) 即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。 (2)质量连续分布刚体,(3-7),式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。,(1)质量离散分布刚体,2.转动惯量的计算,23,3.平行轴定理,Jc 通过刚体质心的轴的转动 惯量;,M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。,24,o,通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为 JO=,(1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计的细杆连接,如图3-3。系统对通过质

9、心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为,3,+ml2,=2ml2,=ml2+(3m)r2=2ml2,例题3-2 质量离散分布刚体: J=mi ri2,ml2,25,(2)用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图3-4所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点, 转动惯量为,JO=m.02,=30ml2,+2m(2l2),+3m(2l)2,+4ml2,+5m(2l2),26,记住！,(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。,例题3-3 质量连续分布刚体:,若棒绕一端o转动，由平行轴定理， 则转动惯量为,解 方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然后

10、积分得,27,(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个半径r、宽dr的圆环积分 ：,(2)均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动惯量为,28,确定转动惯量的三个要素: (1)与刚体总质量有关。总质量越大，刚体转动惯量越大。 (2)与质量分布有关。刚体上质量分布离轴越远，转动惯量越大。 (3)与转轴的位置有关。,29,解 由 M=J , = o+t 有外力矩时,例题3-4 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。,撤去外力矩时, -Mr=J2

11、 , 2= /t2 (2) 代入t1=10s , t2=100s , =(1002)/60=10.5rad/s, 解式(1)、(2)得 J=17.3kg.m2 。,20=J1， 1= /t1 (因o=0),30,解 对柱体,由转动定律M=J有 mg.R=J 这式子对吗？ 错！此时绳中张力Tmg。 正确的解法是用隔离体法。,例题3-5 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。,对m: mg-T=ma 对柱： TR=J a=R 解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg

12、/(2m+M)。,31,m: mg-T2= ma a=R1=r2 , 2=2ah 求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s, T1=48N, T2=58N。,m1: T1R= m1R21,m2: T2r-T1r = m2r22,例题3-6 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。,解 各物体受力情况如图所示。,32,小结:,若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动,处理办法：,对平动的物体，分析受力，按照 列方程。,对转动的刚体，分析力矩，

13、按照 列方程。,补加转动与平动的关联方程,联立求解各方程。,33,例题3-7 匀质圆盘：质量m、半径R，以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？,解 将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环，用积分计算出摩擦力矩。,34,于是得,由= o+ t = 0得,又由2-o2=2 ， 所以停下来前转过的圈数为,35,3-3 定轴转动中的功能关系,(3-10),力矩的功率是,一 力矩的功,(3-11),即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘积。,36,刚体的转动动能为,刚体的转动动能 =刚体上各质点动能之和。 设刚体绕一定轴以角速度 转动，第i个质点

14、 mi到转轴的距离为ri , mi的线速度i=ri , (各质点的角速度相同)； 相应的动能,质点的平动动能为,二.刚体的转动动能,37,上式说明：合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。这便是定轴转动的动能定理。,(3-13),三 定轴转动的动能定理,对比:质点动能定理：,（J=恒量）,38,刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重力场中刚体就具有一定重力势能。,根据质心定义，该刚体质心高度为,重力势能可以表示为,四 刚体的重力势能,(3-14),39,一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力作功,则这系统的机械能也同样守恒。,(3-15),式中, hc为刚体质心到零势面的高度。,五 机械能守恒

15、定律在刚体系统中的应用,在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质量集中 在质心。,刚体的机械能为,40,例题3-8 均匀细直棒：质量m、长为l，可绕水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成角时的角速度和角加速度。,解 棒在转动的过程中，只有保守力(重力)作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有,由上得,41,讨论： 本题也可先由M=J求出 ，再用 =d/dt积分求出。,角加速度：,42,例题3-9 如图3-12所示，有一由弹簧、匀质滑轮和重物M组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求:(1)重物M下落h时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。,，= r,解 (1)系统机械能守恒：,43,(2)求弹簧的最大伸长量。,令=0，得弹簧的最大伸长量为： hmax=2Mg/k。,44,一.刚体的角动量 刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。,式中: J=mi ri2 称为刚体对z轴的转动惯量。,Li=miiri=mi ri2 刚体对z轴的角动量就是 Lz=(mi ri2),=J,3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律,45,问题：为何动量的概念对刚体已失去意义？,刚体对z轴的角动量： Lz= J (3-16),46,(3-17),上式的物理