第三章-数与数系的发展

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1、3.1 数的起源,“数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。” 对数的起源的进程归结为：依赖于本能感觉，形成一一对应的计数方法，建立集合的等价关系并给出其一个标准（或代表集合）规定符号。,3.1.1 数感,数感，即感知事物多少的心理能力。 原始人类较早的“有”与“无”、“多”与“少”的认识 某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦的数感,3.1.2 一一对应计数法与进位制,一一对应的计数方法 例如，是用手指计数物体的个数 荷马（约公元前98世纪）的诗史中，独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只 澳洲土著人用身体的各部分来对应自然数 一一对应的计数方法很容易形成自然数的概念, 它是数概念发展

2、的重要途径。,进位制 当计数较多的实物时，人类学会了一次用更大的单位计数的方法。 如，五进制：一五，一十，十五，二十， 十进制，这时从1到10的十个数都有自己的特殊名称，而从11开始，就用10的进位表示了。在英语中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，；twenty意指“两个10 ”，而hundred则指“10个10”。,古代巴比伦人的六十进位制 玛雅数系中的二十进位制 计算机技术中的二进位制 进位制的转化 例如，四进制数（3021）4转化为十进制数的方法为： （3021）4=343+042+14+2=198,3.1.3 度

3、量的数,使用具有确定标准的容器、长度（称为单位）等去度量，度量出的次数之大小就产生量的概念。人类的度量活动是产生数概念的途径之一。 度量数可以发展非整数性的小数和分数的概念,如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度中抽象出数的理念， 在古代中国的“黄钟起度”的传说,图3.1是西汉末年王莽律嘉量斛的结构示意图；中间大的圆柱为斛量，中间底部圆柱形为斗，左右两边各有一耳，都呈圆柱形，左耳为升量，右耳上为合量、下为龠量。,3.1.4抽象的数,数与被计算的东西分离开来了，出现了1，2，3，这些无名数，无名数的出现标志着抽象的数概念的产生， 怀特海（18611947）：“首先注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟使

4、思想史前进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人”。 教育的启示 学会1、2、3，的概念，并不意味着就可以脱离具体事物进行抽象的数的思维。相反，当人们接触到数的符号或名称时，仍然与那些需要计算对象的某些具体表象联系在一起。,3.1.5 神秘的数,神秘数广泛存在于古代人类社会，数字在这里不表示什么同类的序列，也不用于最简单的数学运算，而是利用数本身的神秘性来预卜事物的未来。数被想象成具有神秘属性的代表物，它便通过宗教、神话来影响人类的生活。 原始人类对自然的认识是有限的，往往借助数这个思维的抽象物，来解释世界上无法理解或控制的各种现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为

5、治国的工具。,如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，筹有九畴”的治国方针。夏王朝将天分为 “九天”；地为“九州”，并将州的官员称为“牧”。九州牧贡铜，铸造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己为九州之主。 春秋时期，用于筹算的“九九”表在中国也普遍使用。这或许可以看出，神秘数与运算中的数在历史发展中的先后顺序。,3.2数的表示方法,3.2.1 结绳与书契 结绳记数成为人类早期表示记数的方法 图3.2台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学） 中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。,结绳记数成为人类早期表示记数的方法,图3.3日本琉球群岛的结绳,“书契”，就是刻划。“书”是划痕，“契”是刻痕 如，在青海

6、，1974年至1978年出土一批带刻口的骨片，是新 石器时代末期用于记事、记数的实物。,3.2.2文字记数,新石器时代中晚期的遗址（西安半坡、山东城子崖等都出现了数字符号。 如，在西安半坡人的遗址（距今约50006000年）中，发现陶器上刻的符号中有数字符号： “ ”（五）、“ ”（六）、“ + ”（七）、“ ”（八）、“ ”（十）、“ ”（二十）,商代的甲骨文 “金文”（“钟鼎文”或“彝铭”）的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名称。,表示数的

7、符号在人类历史上经历了漫长的演变过程，一直到1522年所谓阿拉伯数码（叫印度数码更确切些）才被世界各国所接受。中国到1892年才开始采用阿拉伯数码，但数的写法还是竖写，直到20世纪才采用现代写法。,3.2.3 位值制记数法,十进制的位值记数法，它不仅采用十进制，而且在不同位置上的数码，表示这个数码与10的某个幂次的乘积。即用位置来表示数。,中国古代的筹算中的位值制记数法。 筹式的数码有纵、横两种形式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式,筹式数字摆放的方法规定：个位、百位、万位以上的数用纵式，十位、千位、十万位上的数用横式，纵横相间，以免发生误会；又规定用空位来表示零。 例如197

8、和1907的筹式分别表示为 和,不完全的定位制“累加制”，它是同一单位用同一符号累加，达到较高单位时才换一个新符号。 如罗马数字采用五进累加制，它用大写拉丁字母表示数的单位：I（1）,V（5）, X（10）, L（50）, C（100）, D（500）, M（1000）。在表示其它数时，大单位在左，小单位在右，表示累加，如V(7); 若大单位在右、小单位在左，表示减法，如IV(4)。,巴比伦人发展了应用定位不完全的60进位制的数系 一方面，60以上的数目依定位原则写出；另一方面，60以内的数则按照以十进制的简单分群数系写出，如 524,551=2603+25602+4260+31= 其中分别代

9、表1和10 。,埃及象形文字数系是以10进位制为基础的。用来表示1和10的头几次方的称号是：,任何数现在都可以用这些符号相加的方法给以表示了，其中每一个符号重复必要的次数。于是，13015=1104+3103+110+5= 另外，埃及人比较习惯于从右往左写，而我们写这个数，还是从左往右。,古代玛雅人的数系是16世纪在墨西哥发现的。研究认为，法定的玛雅年是360天，因此其数系本质上是二十进制。但从第二次数群的幂次不是202，而是1820，对于更高次的数群亦采用1820n的形式。如： 43，480=618202+01820+1420。 当然，古代玛雅人没有计算符号，其数字是由表示6、0、14的符号

10、自上而下排列的。,3.2.4干支记数法,干支记数法是一种特有的60进制的记数方法 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥,六十甲子,图3.4 甲骨文中的干支表拓片 如图3.4。这些干支表尽管都有些残损，但从排列上看，全是由上到下竖行排列，而且都是甲起头，10对一行，排列整齐，说明商代人已有了序数的概念。,甲骨文中的干支表,中国早在商代就使用干支纪日法。干支纪年，始于东汉初年,如，殷商的帝王们也大多用其出生的那一天的干支名来命名。 据考证，中国古代自春秋时期鲁隐公三年（公元前720年）二月己巳日（这天发生一次全日食）起，就开始连续

11、使用干支纪日，直至清末，2600年从未间断，这是世界上使用时间最长的纪日法。 干支纪年，我们今天仍用在农历纪年上，近代史上许多重大事件，也常以该事件发生的干支年号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。,3.3 数系在计算中发展,3.3.1负数 在中国传统数学中，较早形成负数和相关运算法则。 九章算术方程章中提出了负数的概念以及它们的运算法则：“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。在古代演算使用算筹进行的。为了区分正负数，刘徽在注文中说“正算赤，负算黑，否则以斜正为异。”如 表示+6， 表示6。,西方数学家更多地是研究负数存在的合理性,如，16、17世纪的

12、帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说 帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数，他说如果(1)：1 = 1：(1)，那么较小数与较大数的比怎么等于较大数与较小数的比呢？ 英国数学家瓦里士认为负数小于零而大于无穷大（1655）。他对此解释道：因为 时， 。而负数 故 。 英国著名代数学家德摩根在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲的年龄将是儿子的2倍？”他列方程56 + x = 2（29 + x），开解得x = 2。他称此解是荒唐的。 当然，欧洲在18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数的理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正

13、确立。,3.3.2无理数,公元前5世纪， 图3.5 黄金比的几何作图法(一) 毕德哥拉斯学派发现了一些直角三角形 的三边不能用整数或整数之比来表示的事实,图3.6黄金比的几何作图法(二) 在古希腊几何学家试图作正五 边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了作正五边形，只要能作出360的角即可，因为这个角的二倍（即720的角）是圆内接正五边形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角为360的等腰三角形。为此，如图3.5中，设AC平分底角OAB。这时，OC=AC=AB，且BAC与AOB相似。 取OA=1，设AB=x，于是有 AB/BC=OA/AB， x/（1x）=1/x， 即 x2+x1=0。 由此

14、得到x=（1）/2。运用古希腊尺规作图的方法，不难作出这样的x：,如图3.6所示，其中OA=1， MO=1/2，因而AM= /2，以及AB=AN=AMMN=（1）/2=x。 这里的无理数x被称为“黄金比”（有的资料上把它的倒数（+1）/21.618称为“黄金比”），它在自然界中，以及在科学和艺术中，处处都会出现。它是早期被发现的无理数之一。,第一次数学危机与古希腊数学家欧道克索斯的“量”理论 无理数最早出现在中国九章算术中时，丝毫没有引起人们的异议。九章算术的开方术中说：“若开不尽者，为不可开，当以面命之。”,有理数和无理数的小数表达式,任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达式，反之，任何

15、有限的或循环的小数表达式都表示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表示一个无理数。 重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都存在一个有理数。事实上，如果a和b（oab）表示两个无理数，且它们的小数表达式为 a=a0.a1a2 和 b=b0。b1b2， 设i是使得anbn（n=0，1，2，）的第一个n值。于是， c= b0。b1b2bi 就是a和b之间的一个有理数。,3.3.3复数,虚数是负数开平方的产物，它是在代数方程求解过程中逐步为人们所发现的 公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其它根，当方程两个负根或虚根时，他就称它是不可解的。 十二世

16、纪印度的婆什伽罗指出：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数” 卡当（1545）解方程得到 根和 。这使卡当迷惑不解，并称负数的平方根是“虚构的”、“超诡辩的力量”。 17世纪，尽管用公式法解方程时经常产生虚数，但是对它的性质，当时仍没有认识。莱布尼兹说：“那个我们称之为虚的1的平方根，是圣灵在分析奇观中的超凡显示，是介于存在与不存在之间的两栖物，是理想世界的瑞兆。”,用几何的直观来认识复数,英国数学家瓦里士（1685）用几何直观表示实数系二次方程复根的方法：画一条数轴，将根的实部在数轴上表示为一点，在此点处做一线段垂直于数轴，其长度等于 的系数，即表示根的虚部。 丹麦数学家韦塞尔（1788年）做了改进：在已有数轴上，做与之垂直的虚轴，并以 为单位，这样就建立了复平面，对于每个复