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1、第4讲 数的整除性（一）,我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。,数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。,性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。,性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且
2、9与7互质，那么126能被9763整除。,利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：,（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。,（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。,（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和
3、如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。,因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。,类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。,837800307 81003107 8（991）3（91）7,89983937 （89939）（837）。,因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x993x9）能被9整除。再根据整除的性质2
4、，由（837）能被9整除，就能判断837能被9整除。,利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：,（4）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 （5）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 （6）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。,例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728，8064。,解：能被4整除的数有7756，3728，8064； 能被8整除的数有3728，8064； 能被9整除的数有234，8865，8064。,例2 在四位数562中，被盖住的十位数分
5、别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？,解：如果562能被9整除，那么 56213 应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；,如果562能被8整除，那么62应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；,如果562能被4整除，那么2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。,到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为623，2与3互质，所以如果
6、这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。,同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。,例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。,解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和270与570都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。,例4 五位数 能被72整除，问：A与B各代表什么数字？,分析与解：已知 能被72整除。因为7289，8
7、和9是互质数，所以 既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求 能被8整除，由此可确定B6。再根据能被9整除的数的特征， 的各位数字之和为,A329BA3f296A20， 因为lA9，所以21A2029。在这个范围内只有27能被9整除，所以A7。,解答例4的关键是把72分解成89，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。,例5 六位数 是6的倍数，这样的六位数有多少个？,分析与解：因为623，且2与3互质，所以这个整数既能被2整
8、除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知 3ABABA33A2B,能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求AB，所以符合条件的六位数共有5420（个）。,例6 要使六位数 能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？,分析与解：因为3649，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数 能被4整除，就要 能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。,要使所得的商最小，就要使 这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是
9、C尽量小。先试取A=0。六位数 的各位数字之和为12BC。它应能被9整除，因此BC6或BC15。因为B，C应尽量小，所以BC6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使 尽可能小，应取B1，C5。,当A=0，B=1，C5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156364171。,16539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？,1.4，9，36。,2个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？,2.10个。 提示：百位与十位的数字和为4或13。,3一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是
10、多少？,3.9366；1362。,4五位数 能被12整除，求这个五位数。,4.42972。,5有一个能被24整除的四位数23，这个四位数最大是几？最小是几？,5.8232；2232。 提示：先由能被8整除判断出个位数是2。,6从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？,6.16个。 提示：6320，3720，2360，2760，6032，3072，2736，7632， 7320，6720，7360，3760，7032，6072，2376，3672。,7在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。,7.11232。,8学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少钱吗？,8.5.11元。 提示：679应能被72整除。,
