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1、 高中数学知识点（新课标） 2014、5 - 1 - 高中数学知识点高中数学知识点 考前复习考前复习(新课标新课标) 必修必修 1 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组 成的总体叫做集合。它具有三大特性： 、 、 。集合的表示有 、 、 。 描述法格式为：元素|元素的特征， 例如, 5|Nxxx且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集 （又称非负整数集）： 0、1、2、3、 （2）正整数集 或 ：1、2、3、 （3）整数集 ：-2、-1、0、1、 （4）有理数集 ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集 ：全体实数的集合 （6）空集 ：不含任何元素的集合
2、3、元素与集合的关系：属于 ，不属于 。 例如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 4、集合与集合的关系： 。 5、重要结论（1）传递性：若，则 BA CB （2）空集 是任意集合的 ，是任意非 空集合的 . 6、含有个元素的集合,它的子集个数共有 个；真n 子集有 个；非空子集有 个(即不计空集)；非 空的真子集有 个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）AB= （2）AB= （3） ACU 注：讨论集合的情况时，不要遗忘了的情况。A 8、映射观点下的函数概念 如果 A，B 都是非空的 ，那么 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做 A 到 B 的函数，记作 ，其中 xA，
3、yB.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的 ，象 的集合 C（CB）叫做函数 y=f(x)的 .函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数” ，有时简记作函数 f(x). 9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的 函数。 如 3 12 2 x x y 0 0 x x 10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须 要考虑其定义域） 分式的分母 ； 偶次方根的 ； 05,5:xxy则如 对数的底数 ； 10),2(log:aaxy a 且则如 对数的真数 ； 02),2(log:xxy a 则如 指数为的底 ； ,则 x my) 1(:如01m 正切式的角 。 11、函
4、数的奇偶性（在整个定义域内考虑） （1）奇函数满足 ， 奇函数的图象关于 对称； （2）偶函数满足 ， 偶函数的图象关于 对称； 注：具有奇偶性的函数,其定义域 ; 若奇函数在原点有定义,则 根据奇偶性可将函数分为四类： 。 12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑） 当时，都有，则在 21 xx )()( 21 xfxf)(xf 该区间上是 ，图象从左到右 ； 当时，都有 ，则在该区 21 xx )(xf 间上是减函数，图象从左到右 。 函数在某区间上是增函数或减函数，那么说 )(xf 在该区间具有 ，该区间叫做单调（增/减）)(xf 区间 注意函数单调性的证明方法：注意函数单调性的证明
5、方法： (1)定义法：定义法： 设 2121 ,xxbaxx、 那么上是 函数； ,)(0)()( 21 baxfxfxf在 上是 函数.,)(0)()( 21 baxfxfxf在 步骤：取值作差变形定号判断 格式：解：设且，则：baxx, 21 21 xx = 21 xfxf 13、一元二次方程 2 0axbxc(0)a （1）判别式： （2）时方程 ；0 时方程有 ；时方程 00 。 （3）求根公式: 2, 1 x （4）根与系数的关系韦达定理: ， 21 xx 21 xx 14、二次函数： 一般式 ； (0)a 两根式 、(0)a 顶点式 (0)a （1）顶点坐标为 ； x y 0 -
6、2 - （2）对称轴方程为：x= ； （3）当时，图象是开口 的抛物线，0a 在 x= 处取得最小值 当时，图象是开口 的抛物线，在 x= 处0a 取得最大值 （4）二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系：x 时，有 交点；时，有 交点00 （即顶点） ；时， 交点。0 17、分数指数幂 （，且）0,am nN 1n （1） .如 ； nm a 3 x (2) = . 如； n m a 2 3 3 1 x x （3）()n n aa （4）当为奇数时，； 当为偶数时， n nn aan . ,0 | ,0 nn a a aa a a 18、有理指数幂的运算性质（）Qsra, 0 （1） ；
7、（2） sr aa sr a )( ； （3） r ab)( 19、指数函数 ， （且） ，其中是y0a1ax 自变量，叫做底数，定义域是 ，值域是 a ， 恒过定点 。 20.若，则 叫做以 为底的对数。记作：NabN （，）1, 0aa0N 其中，叫做对数的底数，叫做对数的真数。aN 注：指数式与对数式的互化公式：log b aN baN (0,1,0)aaN 21、对数的性质 （1） 没有对数，即中 ； N a logN （2）1 的对数等于 ，即 ； 1loga 底数的对数等于 ，即 . a a log 22、常用对数：以 为底的对数叫做常用对数; Nlg 自然对数：以 为底的对数叫做
8、自然对数， Nln (e=2.71828) 23、对数恒等式： 24、对数的运算性质（a0，a1，M0，N0） (1) ; )(logMN a (2) ; N M a log (3) （注意公式的逆用） n aM log 25、对数的换底公式 (,且N a log 0a ,且, ). 1a 0m 1m 0N 推论或； 1 log log a b b a . loglog m n a a n bb m 1, 0, 1, 0bbaa 26、对数函数 （，且）：其y0a1a 中，是自变量，叫做底数，定义域是 xa 27、指数函数 与对数函数 互为反函数； 它们图象关于直线 对称. 28、幂函数 ，
9、（） ，其中是自变yRx 量。要求掌握这五种情况(如下图)3 , 2 , 1 , 2 1 , 1 1a10 a 图 象 （1）定义域：R （2）值域：（0，+） （3）过定点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 性 质 （4）在 R 上是 函数（4）在 R 上是 函数 1a10 a 图像 定义域： 值域： 过定点 性质 增函数减函数 取值范围 00 01 时，y 0 时， 有. 小于取中间 2 2 xaxaaxa 或.大于取两边 22 xaxaxaxa (2)、解一元二次不等式、解一元二次不等式 的步骤： )0( , 0 2 acbxax 求判别式 acb4 2 000 求一元二次方程的解：
10、两相异实根 一个实根 没有实根 画二次函数的图象 cbxaxy 2 结合图象写出解集 解集 0 2 cbxax 解集 0 2 cbxax （3）高次不等式）高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小 于取下) （4）分式不等式）分式不等式：先移项通分，化一边为 0，再将除变乘， 化为整式不等式，求解。 (5)(5)、指数不等式的解法指数不等式的解法： 当时,1a ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 当时, 01a ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 规律：根据指数函数的性质转化规律：根据指数函数的性质转化. . (6)(6)、对数不等式的解法
11、对数不等式的解法 当时, 1a ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 当时, 01a ( )0 log( )log( )( )0. ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 规律：根据对数函数的性质转化规律：根据对数函数的性质转化. . (7)(7)、含绝对值不等式的解法：含绝对值不等式的解法： 定义法： (0). (0) aa a aa 平方法： 22 ( )( )( )( ).f xg xfxgx 同解变形法，其同解定理有： (0);xaaxa a 高中数学知识点（新课标） 2014、5 - 11 -
12、(0);xaxaxa a 或 ( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x ( )( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xf xg xf xg xg x 或 规律：关键是去掉绝对值的符号规律：关键是去掉绝对值的符号. . (4)、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交 集，最后取各段的并集. (8)(8)、含参数的不等式的解法含参数的不等式的解法 解形如且含参数的不等式时，要对 2 0axbxc 参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 讨论与 0
13、 的大小；a 讨论与 0 的大小； 讨论两根的大小. (9)(9)、恒成立问题恒成立问题 不等式的解集是全体实数（或恒成立） 2 0axbxc 的条件是：时 0a 当时0a 2等式的解集是全体实数（或恒成立） 2 0axbxc 的条件是：时 0a 时0a (3) 恒成立 ( )f xa 恒成立 ( )f xa (4) 恒成立 ( )f xa 恒成立 ( )f xa 90、线性规划： （1）一条直线将平面 分为 部分（如图）： （2）不等式表示直线0CByAx 0CByAx 某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不 等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假 如 直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1，0） 。 二元
