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1、均值不等式归纳总结均值不等式归纳总结 1.1. (1)(1)若若Rba,，则，则abba2 22 +(2)(2)若若Rba,，则，则 2 22 ba ab + （ 当 且 仅 当（ 当 且 仅 当 ba=时取时取“= =”） 2.2. (1)(1)若若 * ,Rba，则，则ab ba + 2 (2)(2)若若 * ,Rba，则，则abba2+（当且仅当（当且仅当ba= 时取时取“= =” ） (3)(3)若若 * ,Rba，则，则 2 2 + ba ab ( (当且仅当当且仅当ba=时取时取“= =” ） 3.3.若若0x，则，则 1 2x x +( (当且仅当当且仅当1x=时取时取“= =”
2、 ） 若若0xab，则，则 2+ a b b a ( (当且仅当当且仅当ba=时取时取“= =” ） 若若0ab，则，则22-2 ababab bababa +即或( (当且仅当当且仅当ba=时取时取“= =” ） 5.5.若若Rba,，则，则 2 ) 2 ( 22 2 baba+ + （当且仅当（当且仅当ba=时取时取“= =” ） ps.(1)ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的 和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积定和最小，和
3、定 积最大积最大” (2)(2)求最值的条件求最值的条件“一正，二定，三取等一正，二定，三取等” (3)(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决 实际问题方面有广泛的应用实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值应用一：求最值 例例 1 1：求下列函数的值域：求下列函数的值域 （1 1）y y3 3x x 2 2 1 1 2 2x x 2 2 （2 2）y yx x1 1 x x 解：解：(1)y(1)y3x3x 2 2 1 1 2 2x x 2 2 2 23x3x 2 2 1 1 2 2x x 2 2 6
4、 6值域为值域为 6 6 ，+ +） (2)(2)当当 x x0 0 时，时，y yx x1 1 x x 2 2x x1 1 x x 2 2； 当当 x x0 0 时，时， y yx x1 1 x x = = （ x x1 1 x x ）2 2x x1 1 x x = =2 2 值域为（值域为（，2222，+ +） 解题技巧解题技巧 技巧一：凑项技巧一：凑项 例例已知已知 5 4 x + 的值域。的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x x1 1）的）的 项，再将其分离。项，再将其分离。 当当, ,即即
5、时时, , 4 21)59 1 yx x += + （当且仅当（当且仅当 x x1 1 时取时取“”号）号）。 技巧四：换元技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=xt=x1 1，化简原式在分，化简原式在分 离求最值。离求最值。 22 (1)7(1 +10544 =5 tttt yt ttt + = + ） 当当, ,即即 t=t=时时, , 4 259yt t +=（当（当 t=2t=2 即即 x x1 1 时取时取“”号）。号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将评注：分式函数求
6、最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将 式子分开再利用不等式求最值。即化为式子分开再利用不等式求最值。即化为( )(0,0) ( ) A ymg xB AB g x =+，g(x)g(x)恒正恒正 或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 技巧五技巧五： 在应用最值定理求最值时在应用最值定理求最值时， 若遇等号取不到的情况若遇等号取不到的情况， 结合函数结合函数( ) a f xx x =+ 的单调性。的单调性。 例：求函数例：求函数 2 2 5 4 x y x + = + 的值域。的值域。 解：令解：令 2 4(2)xt t+=，则，
7、则 2 2 5 4 x y x + = + 2 2 11 4(2) 4 xtt t x =+= + + 因因 1 0,1tt t =，但，但 1 t t =解得解得1t= 不在区间不在区间)2,+，故等号不成立，考虑单调性。，故等号不成立，考虑单调性。 因为因为 1 yt t = +在区间在区间)1,+单调递增，所以在其子区间单调递增，所以在其子区间)2,+为单调递增函数为单调递增函数，故故 5 2 y。 所以，所求函数的值域为所以，所求函数的值域为 5 , 2 + 。 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x x 的值的值. . （1 1） 2
8、31,( 0) xx yx x + =（2 2） 1 2,3 3 yxx x =+ ( (3 3) ) 1 2sin,(0, ) sin yxx x =+ 2 2已知已知01x，且，且 19 1 xy +=，求，求xy+的最小值。的最小值。 错 解错 解 ： ：0,0xy， 且， 且 19 1 xy +=， () 199 2212xyxyxy xyxy +=+= 故故 ()min12xy+=。 错因：解法中两次连用均值不等式，在错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy+等号成立条件是等号成立条件是xy=，在，在 199 2 xyxy + 等号成立条件是等号成立条件是 19 xy =即即9y
9、x=, ,取等号的条件的不一致，产生错误取等号的条件的不一致，产生错误。 因因 此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而 且是检验转换是否有误的一种方法。且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：正解： 19 0,0,1xy xy += ， () 199 106 1016 yx xyxy xyxy +=+=+= 当且仅当当且仅当 9yx xy =时时， 上式等号成立上式等号成立， 又又 19 1 xy +=， 可得可得4,12xy=时时，()min16xy+=。 变式：变式： （1 1）若）若 + R
10、yx,且且12=+yx，求，求 yx 11 + 的最小值的最小值 (2)(2)已知已知 + Ryxba,且且 1=+ y b x a ，求，求yx+的最小值的最小值 技巧七技巧七 已知已知x x，y y为正实数，且为正实数，且x x 2 2 y y 2 2 2 2 1 1，求，求x x1 1y y 2 2 的最大值的最大值. . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ababa a 2 2 b b 2 2 2 2 。 同时还应化简同时还应化简 1 1y y 2 2 中中y y 2 2 前面的系数为前面的系数为 1 1 2 2 ，x x1 1
11、y y 2 2 x x2 21 1 y y 2 2 2 2 2 2x x 1 1 2 2 y y 2 2 2 2 下面将下面将x x， 1 1 2 2 y y 2 2 2 2 分别看成两个因式：分别看成两个因式： x x 1 1 2 2 y y 2 2 2 2 x x 2 2 ( ( 1 1 2 2 y y 2 2 2 2 ) ) 2 2 2 2 x x 2 2 y y 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 即即x x1 1y y 2 2 2 2 x x 1 1 2 2 y y 2 2 2 2 3 3 4 4 2 2 技巧八：技巧八： 已知已知a a，b b为正实数，为正实数
12、，2 2b bababa a3030，求函数，求函数y y 1 1 abab 的最小值的最小值. . 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化 为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可 行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又 有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不有积的形式，不能
13、一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不 等式的途径进行。等式的途径进行。 法一：法一：a a30 302 2b b b b1 1 ，abab30 302 2b b b b1 1 b b 2 2b b 2 2 3030b b b b1 1 由由a a0 0 得，得，0 0b b1515 令令t tb b+1+1，1 1t t1616，abab 2 2t t 2 2 3434t t3131 t t 2 2（t t16 16 t t ）3434t t16 16 t t 2 2t t16 16 t t 8 8 abab1818y y 1 1 1818 当且仅当当且仅当t t4 4，即，即
14、b b3 3，a a6 6 时，等号成立。时，等号成立。 法二：由已知得：法二：由已知得：3030ababa a2 2b ba a2 2b b2 22 2abab 3 30 0abab 2 2 2 2abab 令令u uabab则则u u 2 2 2 2 2 2u u30300 0， 5 5 2 2 u u3 3 2 2 abab3 3 2 2 ，abab1818，y y 1 1 1818 点评点评： 本题考查不等式本题考查不等式ab ba + 2 ）（ + Rba,的应用的应用、 不等式的解法及运算能力不等式的解法及运算能力； ； 如何由已知不等式如何由已知不等式230abab=+）（ + Rba,出发求得出发求得ab的范围，关键是寻找到的范围，关键是寻找到 abba与+之间的关系，由此想到不等式之间的关系，由此想到不等式ab ba + 2 ）（ + Rba,，这样将已知条件转，这样将已知条件转 换为含换为含ab的不等式，进而解得的不等式，进而解得ab的范围的范围. . 变式：变式：1.1.已知已知a a00，b b00，abab( (a ab b) )1 1，求，求a ab b的最小值。的最小值。 2.2.若直角三角形周长为若直角三角形周长为 1 1，求它的面积最大值。，求它的面积最大值。 技巧九、取平方技巧九、取平方 5 5、已知、已知x x，y y为正实数
