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1、广东第二师范学院第三届数学建模竞赛试题及参考解答一、最大收益某食品厂生产型和型饼干.在每种饼干的生产过程中，都需要使用搅拌机（A）、成型机（B）和烘箱（C）三种设备.已知每生产一吨型饼干需要在A、B、C上工作的时间分别为4、5、8小时.对型饼干，相应的时间为6、4、3小时.每生产一吨、型饼干均可获得利润7百元.这些饼干在市场上都很畅销.但由于条件限制，A、B、C每天可供利用的工时不能超过24、20、24小时，试问应如何安排每天、型饼干的生产量，才能使该厂获得最大的收益？解：设每天、型饼干的生产量分别为吨，每天的利润为，则此问题的数学模型为： s.t. -（10分）这是一个整线性规划问题，现用图
2、解法进行求解可行域为：由直线，以及组成的凸五边形区域.直线在可行域内平行移动. -（18分）易知：当过与的交点时，取最大值.由 解得此时 (百元). -（25分）故每天生产型饼干吨，型饼干吨，相应的收益最大是3200元.二、快件派送如图，快递员从C3骑车出发往A2、C1、E2三处送快件，然后回到C3.图中数字单位为hm(百米)，假设车速为15km/h，送快件时每处耽误5min，试为快递员设计一条最短路线.问从出发算起30min内该快递员能否回到出发地点？解：第一步：先找出C3到达A2、C1、E2各点间最短距离如下表：(单位hm)从 到C3A2C1E2C309810A2901116C181108
3、E2101680-（10分）第二步：将第一步中表格转化为各地点间的加权无向图G(见下图)161.C3；2.A2；3.C1；4.E2图 各点间加权无向图 -（17分）第三步，按最优邻近法求最佳线路的具体过程如下：开始于顶点1，组成闭回路11，在下一阶段最邻近1的顶点为顶点3，建立闭回路131，顶点4最邻近顶点3，建立闭回路1341.将顶点2插入上面闭回路，得到6个闭回路是13421、13241、14321、14231、12341、12431，它们的长度分别为41、45、38、45、38、41.在这些闭回路中长度最短的回路14321、12341为最佳线路，即C3A2C1 E2C3或C3E2C1A2
4、C3，距离均为3800m.按所给数据，骑车和派件耽误时间共 (min)故从出发算起半小时内该快递员不能回到出发地点. -（25分）三、雪球融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，试推导雪球的体积随时间变化的关系式，并求3个小时后雪球的体积.解：设t时刻雪球的体积为,表面积为s(t),则 ，-（10分）根据球体的体积(=)和表面积(s=42=)的关系得s(t)=，引入新常数 r =，再利用题中的条件得,v(0)=288,v(2)=36， -（15分）分离变量积分得方程的通解为 v(t)=(crt)
5、-（20分）利用条件v(0)=288和v(2)=36得c=36，r=9.代入得雪球体积随时间变化的关系式为 v(t)=（实际问题要求t0,4）. 3个小时后雪球的体积为：(3)=. -（25分）四、宠物食谱一名兽医推荐宠物狗每天的食谱中应该包含100个单位的蛋白质，200个单位的卡路里，50个单位的脂肪.一个商店的宠物食物部有4种食物，分别为A、B、C、D.每千克食物所含的营养成分如下：食品蛋白质卡路里脂肪A5202B4252C71010D1056若单从该商店的这四种食物中取材，是否存在某种方案满足兽医推荐的食谱？解：此问题是对食物A、B、C、D进行混合，使得混合物中各种营养成分的含量与兽医推
6、荐的量相等，故可列出线性方程组对此问题进行求解.设宠物狗一天食谱中食物A、B、C、D的量分别为、（千克）.为保证其食谱满足兽医的推荐，可得如下线性方程组：.-（10分）同解方程组为：.-（15分）通过回代的方法确定上述方程组的非负解（实际问题的需要）.令，则.于是，此时要求.-（20分）将与回代，求得，此时要求.然而, 故无解.这就说明，不可能找到方程组的非负解，也即，该商店中的这四种食物无论如何配比，都不能完成兽医的配方要求. -（25分）五、最优生产甲车间为乙车间生产某种原料，已知乙车间平均每月需要100件，而甲车间平均每月生产500件，因此甲车间要进行等周期分批有间断的生产. 另外甲车间
7、的产品运到乙车间时要包装，平均每批的包装费为4元. 若运到乙车间后暂时来不及加工，则要花费存贮费，平均每件每月0.4元，每月按30天计算，请通过建立数学模型给出甲车间的最优生产周期.(注：据调查知在一个生产周期T天的存贮费用为，其中为生产时间，为甲车间的生产速度，为乙车间的需求速度，C为每天每件产品的存贮费.)解：设一个生产周期T天的包装费为D，每个月生产的批数为30/T，因此每个月内的总费用为 -（10分）利用微积分求极值方法可得 从而 -（15分）已知：P=500/30，R=100/30，D=4，C=0.4/30，于是可得因此，甲车间的最优生产策略为每隔15天生产一批. -（25分）六、鱼
8、雷轨迹位于坐标原点的我舰向位于轴上距离我舰1公里处的敌舰发射制导鱼雷假设敌舰以速度沿着平行于轴的直线行进，鱼雷始终对准敌舰且速度为. 请建立数学模型确定鱼雷的轨迹方程. 解：设鱼雷航行轨迹方程为. 在时刻鱼雷的坐标为，敌舰的坐标为. 因鱼雷始终对准敌舰，所以有 (1) -（5分）而弧线的长度为 (2) -（8分）由(1)、(2)两式消去得 (3) -（12分）根据题意，初始条件为令，方程(3)化为 (4) 由方程(4)解得 (5) -（17分）将代入(5)式得，所以，又由，于是 (6) -（22分）积分得 (7)将代入(7)式得，所以鱼雷的航行轨迹方程为 -（25分）代理商以主要城市为区分，具有唯一性与排他性：一个城市或地区只能有一个代理商，别的地区的代理商不能跨地区开拓业务，但两地代理商之间进行合作公关的除外。竞赛试题及参考答案 第 5 页 共 6 页
