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1、广东省六校2019届高三第一次联考数学（理科）本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选项出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目定区域内相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，
2、将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则ABCD2若复数满足，则的共轭复数的虚部为ABCD3记为等差数列的前项和若，则A BCD4在区间上随机取两个实数，记向量，则的概率为ABCD5已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为ABCD 6在中，为的中点，点满足，则AB CD 7某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是ABCD8已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为ABC
3、D9定义在上的函数满足及，且在上有，则ABCD10抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为ABCD 11已知三棱锥中，且二面角 的大小为，则三棱锥外接球的表面积为ABCD12已知数列满足设，为数列的前项和若（常数），则的最小值是 ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若满足约束条件 则的最大值为 14若，则的展开式中常数项为 15已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为 16已知函数满足，则的单调递减区间是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、2
4、3题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在中，角，的对边分别为，且（1）求角；（2）若，求的面积18（12分）如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值19（12分）某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴其补贴标准如下表：出厂续驶里程(公里)补贴（万元/辆）344.52017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问
5、题： （1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：辆数天数20304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备现有直流、交流两种充电桩可供购置直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台 该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买2
6、00台直流充电桩和400台交流充电桩 假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）20（12分）已知圆与定点，动圆过点且与圆相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值21（12分）已知函数（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4 4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线
7、上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标23选修4 5：不等式选讲（10分）已知，（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围数学（理科）参考答案一、选择题1A2C 3D 4B 5D6A 7C 8B9D 10A 11D 12C二、填空题13 14 15 16（注意：写闭区间也给分）三、解答题17解析：（1）因为，由余弦定理，得，所以 2分，由正弦定理，得， 4分又，所以，
8、5分所以 6分（2）由，得， 7分所以， 8分由正弦定理，得， 10分所以的面积为 12分18解析：（1）在图甲中，易知，从而在图乙中有，平面，平面，平面 4分（2）法一：（传统几何法）略解如下： 过点作于，连接，易证（略），即为所求二面角的平面角，易求得：，在中， 12分法二：（向量法）如图，在图乙中作,垂足为,连接,由于平面，则,平面,则，图甲中有，又，则、三点共线 设的中点为,则,可证，则，又由，得，于是, ，在中, ， 8分作交于点，则以点为原点,分别以、所在直线为、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系，则, , , ，则, ,是平面的一个法向量，易求得平面的一个法向量, 10分设平面与
9、平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为 12分19解析：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：补贴（万元/辆）344.5概 率0.20.50.3 3分纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元) 4分（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：辆 数6000700080009000概 率0.20.30.40.1若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）； 6分可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数60006600概 率0.20.8于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）； 8分若采
10、用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）； 10分可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数600070007600概 率0.20.30.5于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元) 12分20解析：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，所以， 3分由椭圆定义知点的轨迹为以 为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为： 5分（2）当直线斜率不存在时，或，此时弦长 6分当直线斜率存在时，设的方程为：，由 消去得：， 由 得， 设、，可得：， 7分，9分令，则，当时，此时， 11分综上，弦长的最大值为 12分21解析：（1）易知， 1分在上单调递减， 3分时， 4分在上的值域为 5分（2）令，则， 6分若，则由（1）可知，在上单调递增，与题设矛盾，不符合要求； 7分若，则由（1）可知，在上单调递减，符合要求； 8分若，则，使得，且在上单调递增，在上单调递减， 9分，由题：，即，即 10分且由（1）可知在上单调递减， 11分综上， 12分22解析：（1）的普通方程为， 2分经过变换后的方程为 ，此即为曲线的普通方程，
