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1、第 1 章 随机变量基础 第 1 章 随机变量基础 1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明 )( ),( )|( | xf yxf xyf X XY =， )( ),( )|( | yf yxf yxf Y YX = 提示：首先证明 )()( ),( )|( xFxxF dxdyyxf xxXxyF XX yxx x + =+ + ，然后对 y 求导得， xxf xyxf xFxxF dxyxf xxXxyf XXX xx x xxXxY + =+ + + )( ),( )()( ),( )|( | 最后求x0 的极限。 解答：解答： )()( ),( , )|( 1221 21 21 2
2、 1 xFxF dxdyyxf xXxP xXxyYP xXxyF XX yx x = 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求()Yg X=的概率分布函数。 解法一：解法一： 函数( )g x的图像如下： 分析此题仍然可以从( )g x取值的可能情况来讨论。 当( )0yg x=时，y 和 x 是一一对应的，也就是说 x 取什么值，y 的取值是可以唯一 确定的 故( )() YX FyP YyP XcyFyc=+= 同理，当( )0yg x=时，()()P YyP Xyc=+，故( )(),0 YX fyfycy=+； 同理也有0y=+ （4） 1 0 2 P XY = ，令 x =
3、， y = 所以 22 2 200 12 0,0exp 2(1) 21 r P XYd d r r + + = 2 2 2200 111 exp 22 211 ar d d rr + = 再令 2 1 ar u r = ，v= 2 22 0 1 111 0,0exp() 222 rv r P XYuv dvdu + = 2 2 0arcsin 11 exp() 22 r RR d dR + = 这步许可还不是很清楚这步许可还不是很清楚 11arcsin1 (arcsin ) 224242 r r =+=+=+ 根据积分公式的对称性可知， 1 0,00,0 42 P XYP XY =+。 则(
4、) Y fy对应的特征函数为 20 ( )( ) 1 2 jy YY efy dy j + = 由于(1,2, ) i X in=是相互独立的随机变量，独立随机变量之和的特征函数等于各个随机 变量特征函数的乘积，故有 () 22 21 2 ( )( ) 1 2 i nn n X i j = = 需要检查需要检查 对上式进行傅立叶反变换可得 () ()2 2 1 22 2 2 2 2 1 ()exp 2 2 2 n n f n = 。 1.19 设有 N 个相互独立的正态随机变量 12 , n XXX，它们都有零均值和单位方差，令 () 2 2 1 1 n i i QaX = =+ 通常称 Q
5、为具有 n 个自由度的非中心 2 变量，其中 a 为常数，证明 Q 的概率密度为 () 2 4 1 2 1 ( ) 22 n Qn qq fqexpIq + = ，0q 式中 2 2 na =称为非中心参量，( ) n Ii为第一类 n 阶修正贝赛尔函数。 证明：设 22 () iiai YaXX=+=，故 aii XaX=+的概率密度为 () 2 12 2 2 ()1 ()exp 2 2 ai ai Xai xa fx = 所以 i Y的概率密度为 1122 ()()() iaiai YiXaiXai fyJfxJfx=+ () 22 122 2 2 ()()1 expexp 22 2 2
6、i yaya y =+ 2 22 2 1 exp 2 2 i i i ayya ch y + = 其中( ) 2 xx ee ch x + = 则() i Yi fy对应的特征函数为 222 22 2 1(2) ( )expexp 21 2 1 2 i Y aa j j = 令 1 n i i QY = = ，则 Q 的特征函数为 1 ( )( )( ) ii n n QYY i = = ，即 () 222 22 2 2 1(2) ( )expexp 21 2 1 2 Q n nana j j = 对( ) Q 进行傅立叶反变换可得 Q 的概率密度函数 2 4 222 1 2 1 ( ) 22
7、 n Qn qqq fqexpI + = ，0q 归一化变量，令 2 Q Q =，则有 () 2 4 1 2 1 ( ) 22 n Qn qq fqexpIq + = ，0q 计算机作业 计算机作业 1.20 利用MATLAB提供的disttool命令熟悉常用概率密度和概率分布函数,改变分布的参数, 观察曲线的变化。 1.21 设随机变量 XN(2,0.5 2)，编写计算 P2.11 P=normcdf(2.22,2,0.5)-normcdf(2.11,2,0.5) P = 0.0830 1.22 编写画出 N(1,1/4)的概率密度和概率分布函数图形的 MATLAB 程序，并给出绘图的结 果
8、。 解答：解答： x=-3:0.01:4; y=normpdf(x,1,1/2); subplot(2,1,1); plot(x,y); title(概率密度函数); y=normcdf(x,1,1/2); subplot(2,1,2); plot(x,y); title(分布函数); 1.23 用 MATLAB 画出二维正态概率密度和二维正态概率分布的图形。 1.24 已知二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 exp (2)0,0 ( , ) 0 Axyxy f x y + = 其他 利用 MATLAB 的符号运算功能，求(1)待定系数 A； （2）PX2,Y1； （3）边缘分布 fX(x
9、) 和 fY(y)。 解答：解答：Matlab 程序如下： x=-3:0.01:4; y=normpdf(x,1,1/2); subplot(2,1,1); plot(x,y); title(概率密度函数); y=normcdf(x,1,1/2); subplot(2,1,2); plot(x,y); title(分布函数); 1.25 画出习题 1.18 中不同自由度的 2 变量的概率密度曲线。 1.26 对于习题 1.19 的非中心 2 变量 Q，对不同的自由度和非中心参量，分别画出四组概率 密度曲线。 （1）/n=2（n=2,=4） ； （2）/n=2（n=8,=16） ； （3）/n=
10、4（n=2,=8） ； （3）/n=4 （n=4,=16） 。 第 2 章习题解答 第 2 章习题解答 2.1 设有正弦波随机过程( )cosX tVt=，其中0 时， 1/cos0cos ( , ) 0 X txt fx t else 证明： （1） ( )( ) X E Y tFx= （2）( )( ,) YX RFx x =。 证明： （1）由于( )Y t只取 0 或 1 两个值，并且有 ( )1( )P Y tP X tx=， ( )0( )P Y tP X tx= 所以( )Y t的均值为： ( )1 ( )10 ( )0E Y tP Y tP Y t= =+ = 1( )( )
11、X P X txFx= = （2）( )Y t的相关函数为： ( ) ( ) ()1 ( )1, ()1 Y RE Y t Y tP Y tY t = = = ( ),()( ,) X P X tx X txFx x= =，得证。 此题表明，理想门限系统的输出的相关函数在数值上等于输入过程的二维概率密度。 4.2 设对称限幅器的特性为 00 00 00 ( ) ( )( )( ) ( ) yX tx Y tX txX tx yX tx 1，输入是功率谱密度 为 0/2 N的零均值白高斯噪声 W(t)， 求滤波器输出端的窄带过程 n(t)和它的同相及正交分量 的功率谱密度( ) n R、( )
12、c n R和( ) s n R，并以图示之。 ( )W t( )N tR C 图5.22 RLC带通滤波器 L ( )W t( )N tR C 图5.22 RLC带通滤波器 L 5.13 相 关 函 数 为( ) X R= 2| | 0 cos Xe 的 窄 带 平 稳 随 机 过 程 可 表 示 为 00 ( )( )cos( )sin cs X tA ttA tt= ，试在(1) n 0 ；(2) n 0 = 的条件下，分别求出 相关函数( ) c R ，( ) s R 及互相关函数( ) cs R。 解：( )x t的希尔伯特变换? 00 ( )( )sin( )cos cs x tA
13、tw tA tw t=+ 因为 00 ( )( )cos( )sin cs x tA tw tA tw t= ? ? 00 00 ( )( )cos( )sin ( )( )sin( )cos c s A tx tw tx tw t A tx tw tx tw t =+ = + ( )( )() ccc RE A t A t= = ? () ? () 0000 ( )cos( )sin()cos()()sin()Ex tw tx tw tx twtx tw t+ = ? 00 ( )cos( )sin( ) xxs Rw tRw tR t+= （上述推倒利用了 ? ( )( ) x x RR=， ? ? ( )( )x xx RR= ， ? ? ( )( )x xx RR=等性质。 ） 同理， ? 00 ( )( )()( )sin( )cos cscsxx RE A t A tRw tRw t= 2 0 ( )cos xx Rew =是窄带平稳过程的自相关函数。 2 x e 是其慢变化部分。 ? 2 0 ( )sin xx Rew = （1） 当 00 ww时 2 00 ( )( )cos() csx RReww = 0000 ( )(sincoscossin) cs Rww tw tw t= 2 00 sin() x eww = （2） 当 00 ww=时 2 ( )( )
