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1、平面几何习题大全下面的平面几何习题均是我两年来收集的，属竞赛范围。共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。几何计算-1命题 设点D是RtABC斜边AB上的一点，DEBC于点E，DFAC于点F。若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少？ 解：设DF=CE=x,DE=CF=y. RtBEDRtDFA, BE/DE=DF/AF 10/y=x/15 xy=150.所以，矩形DECF的面积150. 几何证明-1命题 在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，己知AOB+COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABC
2、D的周长的一半。 证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。 易证APOORD，所以 DR=OP,AP=OR， 故 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为AOB+COD=180,OA=OD，所以易证RtAPORtORD，故得 DR=OP,AP=OR， 即 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有 OP+OQ+OR+OS
3、=(AB+BC+CD+DA)/2。几何不等式-1命题 设P是正ABC内任意一点，DEF是P点关于正ABC的内接三角形AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F，记面积为S1;KNM是P点关于正ABC的垂足三角形过P点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M，记面积为S2。求证:S2S1 。 证明 设P点关于正ABC的重心坐标为P(x,y,z)，a为正ABC的边长，则正ABC的面积为S=(a23)/4。 由三角形重心坐标定义易求得: AD=za/(y+z),CD=ya/(y+z),CE=xa/(z+x),AE=za/(z+x),AF=ya/(x+y),BF=xa/(x+y). 故得:
4、 AEF的面积 X=AE*AF*sin60/2=Syz/(z+x)(x+y); BFD的面积 Y=BF*BD*sin60/2=Szx/(x+y)(y+z); CDE的面积 Z=CD*CE*sin60/2=Sxy/(y+z)(z+x). 从而有 S1=S-X-Y-Z=2xyzS/(y+z)(z+x)(x+y)。 因为P点是KNM的费马点，从而易求得: PK=(xa3)/2(x+y+z), PN=(ya3)/2(x+y+z), PM=(za3)/2(x+y+z). 故得： S2=(PN*PM+PM*PK+PK*PN)*sin120/2=3S(yz+zx+xy)/4(x+y+z)2。 所以待证不等式
5、S2S1等价于: (3/4)*(yz+zx+xy)/(x+y+z)22xyz/(y+z)(z+x)(x+y); 3(y+z)(z+x)(x+y)(yz+zx+xy)8xyz(x+y+z)2; 上式展开等价于 3x3(y2+z2)+3y3(z2+x2)+3z3(x2+y2)-2xyz(x2+y2+z2)-4xyz(yz+zx+xy)0; 上式化简等价于 x2(x+2y+2z)(y-z)2+y2(y+2z+2x)(z-x)2+z2(z+2x+2y)(x-y)20. 因为P点在正ABC内，故x0,y0,z0，所以上式显然成立。命题得证。几何不等式-2命题 设P是三角形ABC内一点，直线AP，BP，C
6、P与三边的交点分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P的塞瓦三角形。试证点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。证明 设三角形ABC的面积为S, 塞瓦三角形DEF的面积为S1, 三角形AEF的面积为Sa, 三角形BFD的面积为Sb, 三角形CDE的面积为Sc。令BD=xBC,CE=yCA,AF=zAB，则CD=(1-x)BC,AE=(1-y)CA,BF=(1-z)AB。那么Sa=(AE*AF*sinA)/2=z*(1-y)*S，Sb=(BD*BF*sinB)/2=x*(1-z)*S，Sc=(CD*CE*sinC)/2=y*(1-x)*S。所以有S1=S-Sa-Sb-Sc=
7、S*1-z*(1-y)-x*(1-z)-y*(1-x)=S*1-(x+y+z)+yz+zx+xy ，据此命题S4S1转化为证明4*1-(x+y+z)+yz+zx+xy1根据塞瓦定理得:xyz=(1-x)*(1-y)*(1-z)上述恒等式展开等价于1+yz+zx+xy=2xyz+x+y+z将其代入得:8xyz1.由算术-几何平均不等式得:2x(1-x)1, 2y(1-y)1,2z(1-z)1, 上述三式相乘得: 8xyz(1-x)*(1-y)*(1-z)1 , 8xyz1 . 几何不等式-3命题 设P是三角形ABC内一点，点P在三边BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F。则三角形DEF叫做点P
8、的垂足三角形。试证点P的垂足三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。证明 设P点垂足DEF面积为F,ABC面积为，令PD=r1,PE=r2,PC=r3,BC=a,CA=b,AB=c,R表示三角形ABC的外接圆半径。则有F=r2*r3*sinA+r3*r1*sinB+r1*r2*sinC/2=a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2/(4R)。故命题转化为求证a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2R (1) 据恒等式:abc=4R，则上式为a*r2*r3+b*r3*r1+c*r1*r2abc/4 (2)设P点的ABC重心坐标为P(x,y,z)，对(2)式作置换等价于R2
9、*(x+y+z)2yza2+zxb2+xyc2 (3)(3)展开化简为(R*x)2+(R*y)2+(R*z)2+(2*R2-a2)*yz+(2*R2-b2)*zx+(2*R2-c2)*xy0上式配方整理得:R*x+(2*R2-c2)*y/(2R)+(2*R2-b2)*z/(2R)2+c*y*cosC-b*z*cosB20，显然成立。易验证当x:y:z=a*cosA:b*cosB:c*cosC，即外心时取等号。几何不等式-4命题 试比较给定一三角形的最大内接矩形的面积与最大内接正方形的面积大小。证明 设给定三角形ABC的边长分别为a,b,c，相对应的高线分别为ha,hb,hc，给定三角形ABC的
10、面积为S。不妨设abc，则hahbbc条件下，求出最大内接矩形与最大内接正方形的面积。 (1)对于给定三角形的最大内接矩形的面积可如下求:设矩形长为x与BC边重合，宽为y，矩形的面积为S1。运用相似比可得: (ha-y)/x=ha/a x=a*(ha-y)/ha，所以 S1=y*a*(ha-y)/ha=-1/(a*ha)*a2*y2-2*a*S*y =-1/(2*S)*(a*y-S)2+S/2S/2。 当y=S/a=ha/2，x=a/2时，S1的最大值为S/2。 所以给定三角形的最大内接矩形的面积为S/2，它共有三种形状，即(长,宽)=(a/2,ha/2);(长,宽)=(b/2,hb/2);(
11、长,宽)=(c/2,hc/2)。注意这里长与宽相对而言。 (2)对于给定三角形的最大内接正方形的面积可如下求:设正方形边长为x，正方形的面积为S2。运用相似比可得: (ha-x)/x=ha/a x=2*S/(a+ha)， 因为abc，易证得:a+hab+hbc+hc， 所以给定三角形的最大内接正方形的面积: S2=2*S/(c+hc)2。 (3)下面确定给定三角形ABC的最大内接矩形的面积与最大内接正方形的面积大小。 2*S/(c+hc)2S/2 8*S(c+hc)2 因为c2+(hc)22*c*hc=4*S，所以8*S(c+hc)2显然成立。 当c=hc时等号成立。几何不等式-5命题 在等腰
12、直角三角形中，BAC=90，E，F在BC边上E点靠近B点，F点靠近C点。求证： (1) 如果EAF45，则BE2+CF2EF2; (2) 如果EAF45，则BE2+CF2EF2. 证明 设AE为y，AF为z，AB=AC=a。 在ABE，ACF中ABE=45，ACF=45，根据余弦定理得: BE2=y2-a2+a*BE*2;y2=a2+BE2-a*BE*2; z2=a2+CF2-a*CF*2; CF2=z2-a2+a*CF*2. 两式相加得: BE2+CF2=y2+z2-2a2+a2(BE+CF)=y2+z2-2a2+a2(a2-EF) =y2+z2-a2EF。 注意到:AEF面积的两种表示式
13、yzsin(EAF)/2=aEF/(22) a2EF=2yzsinEAF 所以有 BE2+CF2=y2+z2-2yzsinEAF 而在AEF中，根据余弦定理得: EF2=y2+z2-2yzcosEAF 对比上述两式，当EAF=45时，有BE2+CF2=EF2。 (1) 如果EAF45，则tanEAF1，即BE2+CF2EF2; (2) 如果EAF45，则tanEAF1，即BE2+CF2EF2.附证 如图,等腰直角三角形ABC,E,F在BC上,不妨设F在E右侧 将AFC旋转90度到ADB ABC=ACB=ABD=45=DBE=90 BD=CF =BE2+CF2=BE2+BD2=DE2 DE2=AD2+AE2-2AD*AE*cosDAE EF2=AF2+AE2-2AF*AE*cosEAF AD=AF DE2-EF2=2AF*AE(cosEAF-cosDAE) DAE=DAB+BAE=CAF+BAE=90-EAF (1)EAF45,则90DAEEAF0, DE2-EF2=2AF*AE(cosEAF-cosDAE)0 DE2EF2 BE2+CF2EF2 (2)EAF45,则0DAEEAF90, DE2-EF2=2AF*AE(cosEAF-cosDAE)0 DE2EF2 BE2+CF2EF2 几何不等式-6命题 非钝角三角形的三条中线组成的三角形，
