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1、引 论 章 畅 代数问题的特点 ， 代数学研究的对象与特点 畅 域 、 环 、 群（半群）的定义与相互联系 畅 群 、 环 、 域的基本运算性质 ： 消去律（加法与乘法）及零因子 、单位元（零 元）和逆元（负元）的唯一性 、 广义结合律 、 方幂和倍数 畅 一般域上关于多项式理论 、 线性方程组理论 、 线性空间与线性变换的理 论的定理 畅 引论章 的设置是体现总导引中第 点思想 畅 引论章的 是贯彻总导引中第三点思想 本教材主要讲群 、 环 、 域三个 运算系统 本章第一节初步体现了研究代数运算系统的必要性 而 中从人们 熟悉的数域 ， 整数环等例子为背景先引入一般域和环的定义 然后才引入只
2、有一 个运算的系统 ： 群（半群） 研究它们的基本性质时发现群是更基本的运算系统 这样在后面几章中就是先讲群 ， 后讲域 、 环 于是群中的一些运算性质 ， 如剩余类 （陪集） ， 商群 ， 同态定理等都能在讲域 、 环时应用 这种次序安排下 ， 逻辑关系清 楚 ， 且数学处理上可以简便些 、 而 中先按域 、 环 、 群次序引入定义却是更适合 人们的认知顺序 畅 最后的定理非常重要 其一是引入一般域这种运算系统就是为了能 应用这个定理 其二 ， 在本教材的开始就引入这个定理是为了使本教材的结构比 以前教材有较大的变化 以前教材在群论一章之后必须以很大篇幅讲环 ， 主要是 讲因式分解唯一性定理
3、 这几乎成了以前师范院校近世代数课程的主要部分 而 更有应用更有兴趣的域论部分就无法讲授 我们的处理可以在本教材的第二 、 三 章大量地讲域（特别是有限域）及其应用 而环只作为铺垫 ， 占很少部分 其中用 到的多项式及线性空间的性质全可由上面所述的定理所提供 这种处理使本教 材的面貌焕然一新 1 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 畅 在一般域上叙述和证明除法算式（带余除法）成立 畅 一般域上非常数多项式都是一些不可约多项式的乘积 畅 设 ax ax a nxn b ax ax a nxn b asx asx asnxn bs 是域 F 上的线性方程组 试给出“这个方程
4、组是相关或无关的” ， “这个方程组的 极大无关部分组”的定义 证明这个方程组与它的极大无关部分组同解 以下各题中有 倡 者为必作题 ， 其余为选作题 倡 畅 判断下列哪些是集合 A 上的代数运算 （） A 所有实数 ，A 上的除法 （） A 是平面上全部向量 ， 用实数和 A 中向量作数量乘法（倍数） （） A 是空间全部向量 ，A 中向量的向量积（或外积 ， 叉乘） （） A 所有实数 ，A 上的一个二元实函数 倡 畅 给定集合 F ， ， 定义 F上两个代数运算加法和乘法 ， 用下面的加 法表 ， 乘法表来表示 ： 烫 创 垐烫 垐烫 p创 p创 例如 ， ， 在加法表中 号下的 所在的
5、行与 号右边的 所在的列相交 处的元就是 ； ， 在乘法表中 号下的 所在的行与 号右边的 所在 的列相交处的元是 试验证上述加法 、 乘法都有交换律 、 结合律 ， 且乘法对于加法有分配律 倡 畅 设 R 是环 证明下述性质 ：橙 a ， b ， c R ， （） a b a ， 则 b ， a（） （a b） （ a） b ， （） （a b） （ a） b ，（） a b c ， 则 a c b ， 2 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （） a ，（） （ab） （ a）b a（ b） ， （） （ a）（ b） ab（） a（b c） ab ac 畅 R 是
6、环 ，a，a， ，am， b，b， ， bn R ， 则 m i ai n j bj m i n j aibj 倡 畅 R 是环 ， 验证 ： 对所有非负整数 m ，n ，橙 a ， b R ， 有 am n aman， （am）n amn 若 a ， b 交换 ， 则（ab）m ambm 倡 畅 R 是环 ，a ，b R ，a ， b 交换 ， 证明二项定理 ： （a b）n an n an b n k an kbk bn， 其中 n k C k n n（n ） （n k ） k 畅 R 是环 ，a，a， ，am R ， 分别有乘法逆元素 a ， ，a m， 则 a am 的逆元素为 a m
7、a m a a 若 a， ，am两两交换 ， 则 aa am有逆元素 的充要条件是 a， ，am皆有逆元素 畅 R 是环 ，a ，b R 证明 c（ ab） （ ab）c 痴 （ ba）d d（ ba） ， 其中 d bca 即若 ab 在 R 内可逆 ， 则 ba 也可逆 元素 adb 等于 什么 ？ 畅 Mn（F）为域 F 上全体 n n 阵作成的环 ，n 举出其中零因子的 例子 畅 （） 否 ， （）否 ， （）是 ， （）是 畅 证明 由于 a b 和 b a ，a （b c）和（a b） c 中 ， 出现的次数 分别相同 ， 它们的和就分别相等 ， 故 F中加法交换律和结合律成立 由
8、于 ab 和ba ，a（bc）和（ab）c 中如有 出现 ， 其积为零 ， 否则其积为 ， 故这 两对积分别相等 ， 于是 F中乘法交换律和结合律成立 对 a（b c）和 ab ac ， 若 a ， 这两式子都为零 ； 若 a ， 这两式子都为 b c ， 对这两种情形两式子都相等 ， 故 F中乘法对加法的分配律成立 畅 （） 对 a b a a 用加法消去律 ， 得 b （） 由于（ a） b a b （ a） b （a b） （ a） a ， 3 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 由负元的定义知（ a） b （a b） （） 在（）中将 b 换为 b ， 就得 （
9、a b） （ a） b （） 对 a b c 两边加上 b ， 左边 （a b） b a ， 右边 c b ， 故 a c b （） a a a a a（ ） a 用加法消去律得 a （） （ a）b ab （ a a）b b ， 故 ab （ a）b 将上式 a ， b 互 换就得 ab a（ b） （） （ a）（ b） （a（ b） （ ab） ab （） a（b c） a（b （ c） ab a（ c） ab ac 畅 m i ai n j bj （a am） n j bj a n j bj am n j bj n j abj n j ambj m i n j aibj 畅 分几种情形
10、 （i） m n ， 但 m ，n 不为零 ， 不妨设 m 为正整数 ama m为 m 个 a 及 m 个 a 的乘积 ， 由广义结合律知 ama m a am （ m） （ii） 若 m ，n 中有零 ， 不妨设 m ， 则左边 a n an aan 右边 （iii） m ，n 皆为正整数 ， 则 am n与 aman皆为 m n 个 a 的积 ， 由广义结合 律知它们相等 若 m ，n 皆为负整数 ， 则 am n与 aman皆为 （m n）个 a 的乘积 ， 由广 义结合律知它们相等 （iv） m ，n 中有正有负 ， 且 m n ， 不妨设 m 与 m n 为异号 则由（iii） am
11、 na m a（m n） m an， 两边再乘上（a m ） am（参看（i） ， 则 am n aman 以上已证明了 am n aman及（am） a m 再由 amn am m m n个 am am n个 （am）n， 当 n ； amn 怂 a（ m）（ n） a m m （ n）个 a m a m （ n）个 （am） （am） （ n）个 （am）n， 当 n ； 又 am （am） 这就证明了 amn （am）n 若 a ，b 交换 ， 当 m 时 ， 显然有 ambm （ab）m 当 m 为正整数时 ，ambm 与（ab）m都是 m 个 a ，m 个 b 的乘积 ， 由广义结合
12、律知它们相等 ， 当 m 为负整 数时 ，a mb m （ab） m ， 即（am） （bm） （ab）m） 左边又是（ambm） ， 4 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 故 ambm （ab）m 畅 参照中学数学中对二项定理的证明 畅 由（aa am）（a ma m a a ） aa am ama ma m a ， 故（aa am） a m a a 对第个问题 ， 上面一段正是证明了它的充分性 再证必要性 设 aa am u ， 则任 i ，ai（a ai ai amu） ， 故每个 ai有逆元素 畅 （ ba）d （ ba）（ bca） ba bca babca ba b（ ab）ca ba ba ， d（ ba） （ bca）（ ba） ba bca bcaba ， ba bc（ ab）a ba ba 即 ba 在 R 内也可逆 又由 c（ ab） （ ab）c ， 得 cab abc c 故 adb换 a（ bc
