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1、希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试题一、选择题（每题1分，共10分）1若8.0473=521.，则0.80473等于 A0.3B52.C.D0.8232若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是 A正数B负数C奇数D偶数3若a0，b0且a|b|，则下列关系式中正确的是 A-ba-abBba-b-aC-bab-aDab-a-b4在1992个自然数：1，2，3，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，则其代数和一定是 A奇数B偶数C负整数D非负整数5某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉
2、哪个是平均数了如果这1992个有理数的平均数恰为1992则原来的1991个有理数的平均数是 A1991.5B1991C1992D1992.56四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是 Aa+db+cBa+db+cCa+d=b+cD不确定的7.已知p为偶数,q为奇数,方程组的解是整数,那么 A.x是奇数，y是偶数Bx是偶数，y是奇数Cx是偶数，y是偶数Dx是奇数，y是奇数8若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是 A4B19922C21992D419929如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=
3、1，那么代数式10x+y可以取到 不同的值A1个B2个C3个D多于3个的10某中学科技楼窗户设计如图15所示如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的 二、填空题（每题1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且则=_.2若三个连续偶数的和等于1992则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于_3若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=_4三个互不相等的有
4、理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,b, 的形式,则a1992+b1993=_.5海滩上有一堆核桃第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的,又扔掉4个到大海中去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的,那么这堆核桃至少剩下_个.6已知不等式3x-a0的正整数解恰是1，2，3那么a的取值范围是_7a，b，c是三个不同的自然数，两两互质已知它们任意两个之和都能被第三个整除则a3+b3+c3=_8若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=_9将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图17中10个格子里，每个格子中只填
5、一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p则p的最大值是_10购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教具各一件共需_元三、解答题（每题5分，共10分）1将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程2一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”(1)请你举例说明：“希望数”一定存在(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数答案与提示一、选择题提示：所以将8.
6、0473=512.的小数点向前移三位得0.3，即为0.80473的值，选A2设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3-a，a3+a0，a(a2+1)0，因为a2+10，所以a0,即该数一定是负数，选B3已知a0，b0，a|b|在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所示所以-ba-ab，选A4由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变这个性质对n个整数也是正确的因此，1，2，3，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶
7、数，所以选B5原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m1991当m混入以后，那1992个数之和为m1991+m,其平均数是1992，m=1992，选C6在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有ab，ac，ad，bd，cd所以a+bb+c，成立，选B7由方程组以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数由可知x为偶数，由可知y是奇数，选B8由x-y=2平方得x2-2xy+y2=4又已知x2+y2=4所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2无论哪种情况，都有x1992+y1992=01992+(2)1992=219
8、92，选C9设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得由于x，y取09的整数，10x+y=a的a值取非负整数由(*)式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，34和57，选C二、填空题提示：与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于6662-6622=(666+662)(666-662)=13284=53123由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y
9、-xy2的形式，以便代入求值，为此有(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=19924由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是b=1于是a=-1所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=25设这堆核桃共x个依题意我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即目标是求m的最小正整数值可知，必须20|x即x=20，40，60，80，m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，即9a12可被第三个整除，应有b|a+
10、cb2，但b|2，只能是b=2于是c=1，a=3因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=368因为a=1990，b=1991，c=1992，所以a2+b2+c2-ab-bc-ca9将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y于是得3p=65+x+y要p最大，必须x，y最大，由于x+y10+11=21所以3p=65+x+y65+21=86所以p取最大整数值应为28事实上
11、，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立所以p的最大值是2810设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元则依题意列得关系式如下：2-式得x1+x2+x3+x4+x5=21992-2984=1000所以购买每种教具各一件共需1000元三、解答题1解（逻辑推理解）我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45由被11整除的判别法知x-y=0，11，22，33或44但x+
12、y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33于是有但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=106所以（）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。为此调整最后四位数码，排成即为所求解（观察计算法）被11除余5因此，是被11整除而最接近的九位数但并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6于是我们由开始，每次减去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的九位数为止其过程是这其间要减去173次11，最后得出一个恰由
13、九个数码组成的九位数，为所求，其最大性是显见的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解决本题的一种可行途径，有一位参赛学生用到了此法，所以我们整理出来供大家参考2(1)答：由于=3，所以是一个“希望数”说明：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解定义的能力，并能举例说明被定义的对象存在在一位数、二位数、三位数中找不到“希望数”而在四位数中很容易找到实例如：3105=31035，所以3105是个“希望数”；或：7425=32475，所以7425是个“希望数”；或：=3，所以是个“希望数”；以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如：=3=3=3=3=3=3=3=3=3可见，都是希望数，事实上用3105是希望数，可知也是“希望数”，只要这样排下去，可以排出无穷多个“希望数”因此，“希望数”有无穷多个(2)由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和由a=3p和a为3的倍数因此a被9整除于是a是27的倍数这样就证明了，“希望数”一定能被27整除现已知a，b都是“希望数”，所以a，b都是27的倍数即a=27n1，b=27n2（n1，n2为正整数）所以a
